Вводится и исследуется класс $\mathcal{P}_n(\varphi_\lambda)$ аналитических в открытом единичном круге $E$ функций $\varphi (z)=1 + c_n z^n + c_{n+1} z^{n+1} + \ldots,$ $n \geq 1,$ подчиненных функции $\varphi_\lambda(z)=1+{(1-\lambda)z}/{(1-\lambda z^2)},$ $0\le\lambda\ <1.$ С геометрической точки зрения это означает, что множество значений функции $\varphi(z)$ содержатся в области $\varphi_\lambda(E),$ ограниченной овалом Кассини. Исследованы свойства мажоранты подчинения $\varphi_\lambda(z).$ На основе этого, опираясь на метод подчиненности аналитических функций, в классе $\mathcal{P}_n(\varphi_\lambda)$ установлены точные оценки $\rm{Re}\,\varphi(z),$ $\left|\varphi (z)\right|$ и $\left|z\varphi^\prime(z)/\varphi(z)\right|,$ в частном случае приводящие к одному из классических результатов. Рассмотрено применение данных оценок для исследования экстремальных свойств некоторых классов аналитических в $E$ функций $f(z)$ вида $f(z)=z+a_{n+1}z^{n+1}+a_{n+2}z^{n+2}+\ldots,$ $n\geq1.$ В частности, получены теоремы роста, покрытия и радиусы выпуклости одного класса звездообразных функций, который построен с~использованием функции $\varphi_\lambda(z)$ и обобщает известный подкласс звездообразных функций Р.~Сингха. Также даны приложения полученных результатов к исследованию некоторых классов почти звездообразных и дважды почти звездообразных функций, связанных с функцией $\varphi_\lambda(z).$ В частности, в этих классах установлены теоремы роста и найдены радиусы звездообразности. Все полученные результаты являются точными, представляют собой как новые оригинальные результаты, так и некоторые обобщения известных результатов.
In this article, we introduce and study a class $\mathcal{P}_n(\varphi_\lambda)$ of functions $\varphi(z) = 1 + c_n z^{n} + c_{n+1} z^{n+1} + \ldots,$ $n\geq1,$ analytic in the open unit disk $E,$ subordinate to the function $\varphi_\lambda(z)=1+{(1-\lambda)z}/{(1-\lambda z^2)},$ $0\le\lambda<1.$ From a geometric point of view, this means that the set of values of the function $\varphi(z)$ is contained within the region $\varphi_\lambda(E)$ bounded by the Cassini oval. The properties of the subordination majorant are investigated $\varphi_\lambda(z).$ Based on this, relying on the method of subordination of analytical functions, in the class $\mathcal{P}_n(\varphi_\lambda),$ precise estimates are established for $\mathrm{Re}\, \varphi(z),$ $\left|\varphi(z)\right|,$ and $\left|{z\varphi'(z)}/{\varphi(z)}\right|,$ leading to one of the classical results in a particular case. The application of these estimates to the study of extreme properties of some classes of analytical functions $f(z)$ of the form $f(z) = z + a_{n+1}z^{n+1} + a_{n+2}z^{n+2} + \ldots,$ $n\geq 1$ is considered. In particular, theorems of growth, covering, and radii of convexity are established for one class of starlike functions which is constructed by using the function $\varphi_\lambda(z)$ and generalizes the well-known subclass of starlike functions of R.~Singh. Applications of the obtained results to the study of some classes of close-to-starlike and doubly close-to-starlike functions related to the function $\varphi_\lambda(z)$ are also given. In particular, in these classes, growth theorems are established and radii of starlikeness are found. All obtained results are accurate, represent new original results as well as some generalizations of known results.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.