Изучается начальная задача $u(x,0)=\varphi(x),$ $u_t(x,0)=0$ для волнового уравнения $u_{xx}(x,t)=u_{tt}(x,t)$ при $x\in\Gamma\setminus J$ è $t>0,$ в которой $\Gamma$ - геометрический граф (по Ю.В. Покорному) с прямолинейными рёбрами и без граничных вершин ($\partial\Gamma=\varnothing$), $J$ - множество всех внутренних вершин $\Gamma,$ функция $\varphi$ задана; условия трансмиссии, замыкающие задачу, – это, помимо непрерывности функции $u(\,\cdot\,,t)$ во внутренних вершинах, условия гладкости для неё, суть которых состоит в том, что при каждом $t\geqslant0$ в каждой внутренней вершине $a\in J$ сумма правых производных функции $u(\,\cdot\,,t)$ по всем допустимым направлениям равна 0. Доказывается, что если $G^\ast$ есть обобщённая функция Грина (по М. Г. Завгороднему, 2019) для краевой задачи $-y''(x)=f(x),$ $x\in\Gamma\setminus J,$ при гладких условиях трансмиссии (здесь $y$ -искомая функция, непрерывная в точках из $J,$ а $f$ -заданная функция, равномерно непрерывная на каждом ребре $\Gamma$), то классическое решение u начальной задачи представимо в виде: где $\langle\varphi\rangle$ – среднее от $\varphi$ по $\Gamma,$ а $g^\ast(x,t,s)=[\mathcal C(t)G^\ast(\,\cdot\,,s)](x),$ где, в свою очередь, $\mathcal C$ есть операторная функция, конечным образом описываемая только через метрические и топологические характеристики $\Gamma.$ Подход к получению этого представления u аналогичен подходу, реализованному автором ранее (2006) в случае, когда $\partial\Gamma\ne\varnothing$ и в точках $\partial\Gamma$ ставятся условия Дирихле.
We study the initial value problem $u(x,0)=\varphi(x),$ $u_t(x,0)=0$ for the wave equation $u_{xx}(x,t)=u_{tt}(x,t)$ for $x\in\Gamma\setminus J$ and $t>0,$ where $\Gamma$ is a geometric graph (according to Yu. V. Pokornyi) with straight-line edges and without boundary vertices ($\partial\Gamma=\varnothing$), $J$ is the set of all internal vertices of $\Gamma,$ and the function $\varphi$ is given; the transmission conditions that close the problem are, in addition to the continuity of the function $u(\,\cdot\,,t)$ at the interior vertices, the smoothness conditions for it, the essence of which is that for each $t\geqslant0$ at each interior vertex $a\in J$ the sum of the right derivatives of the function $u(\,\cdot\,,t)$ in all admissible directions is 0. It is proved that if $G^\ast$ is a generalized Green's function (according to M. G. Zavgorodniy, 2019) for the boundary value problem $-y''(x)=f(x),$ $x\in\Gamma\setminus J,$ under smooth transmission conditions (here $y$ is the desired function, continuous at the points of $J,$ and $f$ is a given function, uniformly continuous on each edge of $\Gamma$), then the classical solution $u$ of the initial value problem is representable in form: where $\langle\varphi\rangle$ is the average of $\varphi$ over $\Gamma,$ and $g^\ast(x,t,s)=[\mathcal C(t)G^\ast(\,\cdot\,,s)](x),$ where, in turn, $\mathcal C$ is an operator function finitely described only through the metric and topological characteristics of $\Gamma.$ The approach to obtaining this representation of $u$ is similar to the approach implemented by the author earlier (2006) in the case where $\partial\Gamma\ne\varnothing$ and Dirichlet conditions are imposed at the points of $\partial\Gamma.$
The authors declare that there are no conflicts of interest present.