Рассматривается задача Коши для алгебро-дифференциального уравнения первого порядка \begin{equation*} A\frac{du}{dt}=(B+\varepsilon C+\varepsilon^2 D)u(t,\varepsilon), \end{equation*} \begin{equation*} u(t_0,\varepsilon)=u^0(\varepsilon)\in E_1, \end{equation*} где $A,B,C,D$ --- замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства $E_1$ в банахово пространство $E_2$ с всюду плотными в $E_1$ областями определения, $u^0$ --- голоморфная в точке $\varepsilon=0$ функция, $\varepsilon$ --- малый параметр, $t\in[t_0;t_{max}].$ Такими уравнениями описываются, в частности, процессы фильтрации и влагопереноса, поперечные колебания пластин, колебания в молекулах ДНК, явления в электромеханических системах и т.~д. Оператор $A$ фредгольмов с нулевым индексом. Целью работы является изучение явления погранслоя, вызываемое наличием малого параметра. Приводятся необходимые сведения и утверждения. Получено уравнение ветвления. Рассматриваются два случая: а) функции погранслоя одного вида, б) функций погранслоя двух видов. Для решения уравнения ветвления применяется диаграмма Ньютона. В обоих случаях выявлены условия, при которых возникает явление погранслоя --- это условия регулярности вырождения. Случай а) иллюстрируется примером задачи Коши с конкретными операторными коэффициентами, действующими в пространстве $\mathbb{R}^4.$
The Cauchy problem for the first-order algebraic differential equation is considered \begin{equation*} A\frac{du}{dt}=(B+\varepsilon C+\varepsilon^2 D)u(t,\varepsilon), \end{equation*} \begin{equation*} u(t_0,\varepsilon)=u^0(\varepsilon)\in E_1, \end{equation*} where $A,B,C,D$ are closed linear operators acting from a Banach space $E_1$ to a Banach space $E_2$ with domains everywhere dense in $E_1,$ $u^0$ is a holomorphic function at the point $\varepsilon=0,$ $\varepsilon$ is a small parameter, $t\in[t_0;t_{max}].$ Such equations describe, in particular, the processes of filtration and moisture transfer, transverse vibrations of plates, vibrations in DNA molecules, phenomena in electromechanical systems, etc. The operator $A$ is the Fredholm operator with zero index. The aim of the work is to study the boundary layer phenomenon caused by the presence of a small parameter. The necessary information and statements are given. A~bifurcation equation is obtained. Two cases are considered: a) boundary layer functions of one type, b) boundary layer functions of two types. Newton's diagram is used to solve the bifurcation equation. In both, the conditions under which boundary layer phenomenon arises are obtained --- these are the conditions for the regularity of degeneracy. Case a) is illustrated by an example of the Cauchy problem with certain operator coefficients acting in the space $\mathbb{R}^4.$
The authors declare that there are no conflicts of interest present.