Рассматривается многозначное отображение следующего вида где $X \subset \mathbb{R}^m$ --- компакт; $Y \subset \mathbb{R}^n$ --- выпуклый компакт; градиенты $f'_{iy}(x,y),$ $i \in I,$ функций $f_i(x,y)$ по $y$ удовлетворяют условию Липшица на $Y$; $I$ --- конечное множество индексов. С использованием метода линеаризации доказаны теоремы существования непрерывных и липшицевых селекторов, проходящих через любую точку графика многозначного отображения $a.$ Получены как локальные, так и глобальные теоремы. Приводятся примеры, подтверждающие существенность принятых предположений, а также примеры, иллюстрирующие применение полученных утверждений в оптимизационных задачах.
We consider a multivalued mapping of the following form where $X \subset \mathbb{R}^m$ is compact; $Y \subset \mathbb{R}^n$ is convex compact; the gradients $f'_{iy}(x,y),$ $i \in I,$ of the functions $f_i(x,y)$ along $y$ satisfy the Lipschitz condition on $Y$; $I$ is a finite set of indices. Using the linearization method, existence theorems for continuous and Lipschitz selectors passing through any point of the graph of the multivalued mapping $a$ are proved. Both local and global theorems are obtained. Examples are given that confirm the significance of the assumptions made, as well as examples illustrating the application of the obtained statements to optimization problems.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.