Рассматривается регуляризация классических условий оптимальности (КУО) — принципа Лагранжа (ПЛ) и принципа максимума Понтрягина (ПМП) — в выпуклой задаче оптимального управлении с функциональными ограничениями типа равенства и неравенства. Управляемая система задается линейным функционально-операторным уравнением II рода общего вида в пространстве , основной оператор правой части уравнения предполагается квазинильпотентным. Минимизируемый функционал задачи является выпуклым (возможно не сильно). Регуляризация КУО в неитерационной и итерационной формах основана на использовании соответственно методов двойственной регуляризации и итеративной двойственной регуляризации. При получении неитерационных регуляризованных КУО используются два параметра регуляризации, один из которых «отвечает» за регуляризацию двойственной задачи, другой же содержится в сильно выпуклом регуляризирующем тихоновском добавке к целевому функционалу исходной задачи, обеспечивая тем самым корректность задачи минимизации функции Лагранжа. Основное предназначение регуляризованных ПЛ и ПМП — устойчивое генерирование минимизирующих приближенных решений (МПР) в смысле Дж. Варги. Регуляризованные КУО: 1) формулируются как теоремы существования МПР в исходной задаче с одновременным конструктивным представлением конкретных МПР; 2) являются секвенциальными обобщениями классических аналогов — своих предельных вариантов, сохраняя общую структуру последних; 3) «преодолевают» свойства некорректности КУО и дают регуляризирующие алгоритмы для решения оптимизационных задач. Рассматриваются иллюстрирующие примеры конкретных задач оптимального управления, связанных с системой уравнений с запаздыванием и с интегродифференциальным уравнением типа уравнения переноса.
e consider the regularization of classical optimality conditions (COCs) — the Lagrange principle (LP) and the Pontryagin maximum principle (PMP) — in a convex optimal control problem with functional constraints such as equalities and inequalities. The controlled system is given by a linear functional-operator equation of the second kind of general form in the space , the main operator on the right side of the equation is assumed to be quasi-nilpotent. The problem functional to be minimized is convex (probably not strongly). The regularization of the COCs in the non-iterative and iterative forms is based on the use of the methods of dual regularization and iterative dual regularization, respectively. Obtaining non-iterative regularized COCs uses two regularization parameters, one of which is “responsible” for the regularization of the dual problem, the other is contained in a strongly convex regularizing Tikhonov addition to the objective functional of the original problem, thereby ensuring the correctness of the problem of minimizing the Lagrange function. The main purpose of regularized LP and PMP is the stable generation of minimizing approximate solutions (MASs) in the sense of J. Warga. Regularized COCs: 1) are formulated as existence theorems for MASs in the original problem with simultaneous constructive representation of specific MASs; 2) are sequential generalizations of classical analogues — their limiting variants and preserve the general structure of the latter; 3) “overcome” the ill-posedness properties of the COCs and give regularizing algorithms for solving optimization problems. Illustrating examples are considered: the problem of optimal control for the equation with delay, the problem of optimal control for the integrodifferential equation of the type of transport equation.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.