Статья посвящена исследованию нелинейного интегрального функционала вида , где — замкнутое ограниченное множество в , порождающая функция (где — вещественное сепарабельное банахово пространство) удовлетворяет условиям Каратеодори. Изучаются действие и ограниченность функционала на пространстве непрерывных вектор-функций и на пространстве существенно ограниченных вектор-функций (с естественными нормами). Основными результатами статьи являются 1) эквивалентность действия и ограниченности функционала на пространствах и ; 2) равенство для этих пространств числовой характеристики функционала в виде супремума нормы значений функционала на замкнутом шаре; 3) выражение этой числовой характеристики в терминах функции , порождающей функционал. Для распространения свойств функционала с на существенно используются результаты И.В. Шрагина об операторе Немыцкого и порождающей функции, а также его идеи и методы, основанные на последовательном доказательстве специальных вспомогательных утверждений, которые используют, в частности, теоремы непрерывного и измеримого выбора. Полученные для функционала результаты конкретизируются для случая линейного интегрального функционала на пространствах банаховозначных функций (когда для некоторой функции ), в частности, установлено, что норма этого функционала на пространствах и равна .
The present article is devoted to the study of a nonlinear integral functional of the form , where is a closed bounded set in , and the generating function (where is real separable Banach space) satisfies Caratheodory conditions. We study the action and boundedness of the functional on the space of continuous vector functions and on the space of essentially bounded vector functions (with natural norms). The main results of the article are: 1) the equivalence of the action and boundedness of the functional on the spaces and ; 2) equivalence, for these spaces, of the numerical characteristic of the functional in the form of the supremum of the norm of the functional values on a closed ball; 3) expressing this numerical characteristic in terms of the function that generates the functional. Moreover, to extend the properties of the functional from to we essentially use the results of I.V. Shragin on the study of the Nemytskii operator and its generating function, as well as his ideas and methods based on the consistent proof of special auxiliary statements that use, in particular, continuous and measurable choice theorems. The results thus obtained for the functional are specified for the case of a linear integral functional on spaces of Banach-valued functions (when for some function ), and in particular, it is established that the norm of this functional on the spaces and is equal to .
The authors declare that there are no conflicts of interest present.