В более ранней статье авторов [А. П. Афанасьев, С. М. Дзюба. “О новых свойствах рекуррентных движений и минимальных множеств динамических систем”, Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 5-14] установлена связь между движениями общего вида и рекуррентными движениями в компактном метрическом пространстве и доказан весьма простой характер поведения рекуррентных движений. В данной работе на основании этих результатов вводится новое определение рекуррентного движения, которое, в отличие от широко используемого в современной литературе, дает достаточно полную информацию относительно строения рекуррентного движения как функции времени и поэтому является более наглядным. При этом мы показываем, что в абстрактном метрическом пространстве предлагаемое определение эквивалентно определению Биркгофа, а в полном метрическом пространстве эквивалентно общепринятому современному определению. Получены необходимые и достаточные условия рекуррентности (в смысле предложенного в статье определения) движения в компактном метрическом пространстве. Доказано, что в компактном метрическом пространстве α - и ω -предельные множества любого движения являются минимальными (это утверждение было анонсировано в более ранней статье авторов). Из минимальности α - и ω -предельных множеств выведено, что в компактном метрическом пространстве каждая положительно (отрицательно) устойчивая по Пуассону точка лежит на траектории рекуррентного движения, т. е. является точкой минимального множества, и таким образом, в компактном метрическом пространстве с конечной положительной инвариантной мерой почти все точки являются точками минимальных множеств.
In the earlier article by the authors [A.P. Afanas’ev, S. M. Dzyuba “About new properties of recurrent motions and minimal sets of dynamical systems”, Russian Universities Reports. Mathematics, 26:133 (2021), 5-14] a connection between general motions and recurrent motions in a compact metric space is established, and a very simple behavior of recurrent motions is proved. Based on these results, we introduce here a new definition of recurrent motion which, in contrast to the one widely used in modern literature, provides fairly complete information about the structure of a recurrent motion as a function of time and, therefore, is more illustrative. At the same time, we show that in an abstract metric space, the proposed definition is equivalent to Birkhoff’s definition and is equivalent to the generally accepted modern definition in a complete metric space. Necessary and sufficient conditions for recurrence (in the sense of the definition proposed in the article) of a motion in a compact metric space are obtained. It is proved that α - and ω -limit sets of any motion are minimal in a compact metric space (this assertion was announced in an earlier paper by the authors). From the minimality of α - and ω -limit sets, it is deduced that in a compact metric space, each positively (negatively) Poisson-stable point lies on the trajectory of a recurrent motion, i.e. is a point of a minimal set, and thus, in a compact metric space with a finite positive invariant measure almost all points are points of minimal sets.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.