В статье предлагается новый метод исследования дифференциальных операторов с разрывной весовой функцией. Потенциал оператора предполагается кусочно-гладкой функцией на конечном отрезке задания оператора. В точке разрыва весовой функции требуется выполнение условий «сопряжения». Исследуются разделённые граничные условия общего вида. Изучены спектральные свойства дифференциального оператора, заданного на конечном отрезке. При больших значениях спектрального параметра выведена асимптотика фундаментальной системы решений дифференциальных уравнений, задающих исследуемый оператор. С помощью этой асимптотики изучены условия «сопряжения» рассматриваемого дифференциального оператора. Затем исследованы граничные условия изучаемого оператора. В результате получено уравнение на собственные значения оператора, которое представляет собой целую функцию. Изучена индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения, которая является правильным многоугольником. В различных секторах индикаторной диаграммы найдена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора. При помощи найденной асимптотики собственных значений методом Лидского-Садовничего получена формула первого регуляризованного следа этого оператора. В случае предельных переходов полученная формула приводит к формуле следа для классического оператора с гладким потенциалом и постоянной весовой функцией.
This article proposes a new method for studying differential operators with a discontinuous weight function. It is assumed that the potential of the operator is a piecewise smooth function on the segment of the operator definition. The conditions of «conjugation» at the point of discontinuity of the weight function are required. The spectral properties of a differential operator defined on a finite segment with separated boundary conditions are studied. The asymptotics of the fundamental system of solutions of the corresponding differential equation for large values of the spectral parameter is obtained. With the help of this asymptotics, the «conjugation» conditions of the differential operator in question are studied. The boundary conditions of the operator under study are investigated. As a result, we obtain an equation for the eigenvalues of the operator, which is an entire function. The indicator diagram of the eigenvalue equation, which is a regular polygon, is studied. In various sectors of the indicator diagram, the asymptotics of the eigenvalues of the investigated differential operator is found. The formula for the first regularized trace of this operator by using the found asymptotics of the eigenvalues by the Lidsky-Sadovnichy method is obtained. In the case of the passage to the limit, the resulting formula leads to the trace formula for the classical operator with a smooth potential and constant weight function.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.