mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державинаmathematics-14Research ArticleНАУЧНЫЕ СТАТЬИORIGINAL ARTICLESКатегорный подход к исследованию дифференцирований в групповых алгебрахA categorical approach to the study of derivations in group algebrashttps://orcid.org/0000-0002-6878-0993АрутюновАндроник АрамовичArutyunovAndronick A.andronick.arutyunov@gmail.comФГБУН «Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова» Российской академии наук; ФГАОУ ВО «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)»РоссияV. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RAS; Moscow Institute of Physics and TechnologyRussian Federation20230607202328142125136Copyright © Арутюнов А.А., 20232023Арутюнов А.А.Arutyunov A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/14

В работе представлен обзор результатов, посвященных описанию семейств операторов, подчиняющихся некоторым индуктивным тождествам (например правилу Лейбница — случай дифференцирований, дифференцирования Фокса, а также -дифференцирований) как характеров на подходящем группоиде. В первую очередь дается реализация данной конструкции для дифференцирований в групповых алгебрах и дифференцирований Фокса, как характеров на группоиде действия. Также демонстрируется, как данная конструкция реализуется для дифференцирований на алгебрах, порожденных мальцевскими полугруппами, для случая дифференцирований со значениями в конечных кольцах, а также для -дифференцирований

We present a review of the results devoted to describing families of operators obeying some inductive identities (e. g. Leibniz’s rule — the case of derivations, Fox derivation, and -derivations) as characters on a suitable groupoid. We first give an implementation of this construction for derivations in group algebras and Fox derivations as characters on an action groupoid. It is also demonstrated how this construction can be realized for derivations on algebras generated by Maltsev semigroups, for the case of derivations with values in finite rings, and for -derivations.

дифференцированияпроизводная Фоксаоператорная алгебратождествогруппоидыderivationFox derivativeoperator algebraidentitygroupoidReferencesА.А. Арутюнов, А.С. Мищенко, А.И. Штерн, “Деривации групповых алгебр”, Фундамент. и прикл. матем., 21:6 (2016), 65–78.А.А. Арутюнов, А.С. Мищенко, А.И. Штерн, “Деривации групповых алгебр”, Фундамент. и прикл. матем., 21:6 (2016), 65–78.А.А. Арутюнов, А.С. Мищенко, “Гладкая версия проблемы Джонсона о деривациях групповых алгебр”, Матем. сб., 210:6 (2019), 3–29.А.А. Арутюнов, А.С. Мищенко, “Гладкая версия проблемы Джонсона о деривациях групповых алгебр”, Матем. сб., 210:6 (2019), 3–29.R.H. Fox, “Free differential calculus. I: Derivation in the free group ring”, The Annals of Mathematics, 57:3 (1953), 547–560.R.H. Fox, “Free differential calculus. I: Derivation in the free group ring”, The Annals of Mathematics, 57:3 (1953), 547–560.А.А. Арутюнов, “О дифференцированиях в групповых алгебрах и других алгебраических структурах”, Вестник российских университетов. Математика, 27:140 (2022), 305–317.А.А. Арутюнов, “О дифференцированиях в групповых алгебрах и других алгебраических структурах”, Вестник российских университетов. Математика, 27:140 (2022), 305–317.A.A. Arutyunov, A.V. Alekseev, “Complex of n -categories and derivations in group algebras”, Topology and its Applications, 275 (2020), 107002.A.A. Arutyunov, A.V. Alekseev, “Complex of n -categories and derivations in group algebras”, Topology and its Applications, 275 (2020), 107002.D. Burghelea, “The cyclic homology of the group rings”, Coment. Math. Helv., 60 (1985), 354–365.D. Burghelea, “The cyclic homology of the group rings”, Coment. Math. Helv., 60 (1985), 354–365.A.S. Mischenko, “Derivations of group algebras and Hochschild cohomology”, Differential Equations on Manifolds and Mathematical Physics, Dedicated to the Memory of Boris Sternin, Trends in Mathematics, eds. V. M. Manuilov, A. S. Mishchenko, V. E. Nazaikinskii, B.-W. Schulze, W. Zhang, Springer Nature Switzerland, Switzerland, 2022, 263–272.A.S. Mischenko, “Derivations of group algebras and Hochschild cohomology”, Differential Equations on Manifolds and Mathematical Physics, Dedicated to the Memory of Boris Sternin, Trends in Mathematics, eds. V. M. Manuilov, A. S. Mishchenko, V. E. Nazaikinskii, B.-W. Schulze, W. Zhang, Springer Nature Switzerland, Switzerland, 2022, 263–272.A.S. Mischenko, “Geometric description of the Hochschild cohomology of group algebras”, Contemporary Mathematics, 2021, 267–279.A.S. Mischenko, “Geometric description of the Hochschild cohomology of group algebras”, Contemporary Mathematics, 2021, 267–279.L. Creedon, K. Hughes, “Derivations on group algebras with coding theory applications”, Finite Fields and Their Applications, 56 (2019), 247–265.L. Creedon, K. Hughes, “Derivations on group algebras with coding theory applications”, Finite Fields and Their Applications, 56 (2019), 247–265.A. Arutyunov, A combinatorial view on derivations in bimodules, 2022, arXiv: abs/2208.05478.A. Arutyunov, A combinatorial view on derivations in bimodules, 2022, arXiv: abs/2208.05478.A.A. Arutyunov, L.M. Kosolapov, “Derivations of group rings for finite and FC groups”, Finite Fields and Their Applications, 76 (2021), 101921.A.A. Arutyunov, L.M. Kosolapov, “Derivations of group rings for finite and FC groups”, Finite Fields and Their Applications, 76 (2021), 101921.R.H. Crowell, R.H. Fox, Introduction to Knot Theory, Graduate Texts in Mathematics, 57, Springer, New York, 1977.R.H. Crowell, R.H. Fox, Introduction to Knot Theory, Graduate Texts in Mathematics, 57, Springer, New York, 1977.А.А. Арутюнов, “Алгебра дифференцирований в некоммутативных групповых алгебрах”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН, 308, МИАН, М., 2020, 28–41.А.А. Арутюнов, “Алгебра дифференцирований в некоммутативных групповых алгебрах”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН, 308, МИАН, М., 2020, 28–41.A. Arutyunov, “Derivations in group algebras and combinatorial invariants of groups”, European Journal of Mathematics, 9:39 (2023).A. Arutyunov, “Derivations in group algebras and combinatorial invariants of groups”, European Journal of Mathematics, 9:39 (2023).D. Robinson, Finintess Conditions and Generalized Solvable Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 2. Folge, 62, Springer-Verlag: Berlin, 1972.D. Robinson, Finintess Conditions and Generalized Solvable Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 2. Folge, 62, Springer-Verlag: Berlin, 1972.A.V. Alekseev, A.A. Arutyunov, “Derivations in semigroup algebras”, Eurasian Mathematical Journal, 11:2 (2020), 9–18.A.V. Alekseev, A.A. Arutyunov, “Derivations in semigroup algebras”, Eurasian Mathematical Journal, 11:2 (2020), 9–18.A. Alekseev, A. Arutyunov, S. Silvestrov, On (σ,τ)-derivations of group algebra as category characters, 2020, arXiv: abs/2008.00390.A. Alekseev, A. Arutyunov, S. Silvestrov, On (σ,τ)-derivations of group algebra as category characters, 2020, arXiv: abs/2008.00390.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.