В данной работе рассматривается система функций G r, n α ( x) r∈N, n=0,1,… , которые ортогональны относительно скалярного произведения соболевского типа на (-1, 1) и порождены ортогональными полиномами Гегенбауэра. Основной целью данной работы является изучение некоторых свойств, связанных с системой φ k, r ( x) k≥0 функций, порожденных ортогональной системой G r, n α ( x) функций Гегенбауэра. Исследуются условия на функцию f x , заданную в обобщенной ортогональной системе Гегенбауэра, которые гарантируют ее разложимость в обобщенный смешанный ряд Фурье вида f x ~ k=0 r-1 f k -1 x+1 k k! + k= r ∞ G r, k α f φ r, k α x , и изучается сходимость этого ряда Фурье. Второй результат этой статьи состоит в доказательстве рекуррентной формулы для системы φ k, r ( x) k≥0 . Мы также обсуждаем асимптотические свойства этих функций, что составляет заключительный результат нашей работы.
In this paper we consider the system of functions G r,n α (x) r∈N, n=0,1,… which is orthogonal with respect to the Sobolev-type inner product on (-1, 1) and generated by orthogonal Gegenbauer polynomials. The main goal of this work is to study some properties related to the system φ k,r (x) k≥0 of the functions generated by the orthogonal system G r,n α (x) of Gegenbauer functions. We study the conditions on a function f(x) given in a generalized Gegenbauer orthogonal system for it to be expandable into a generalized mixed Fourier series of the form f x ~ k=0 r-1 f k -1 x+1 k k! + k=r ∞ G r,k α f φ r,k α x , as well as the convergence of this Fourier series. The second result of this paper is the proof of a recurrence formula for the system φ k,r (x) k≥0 . We also discuss the asymptotic properties of these functions, and this represents the latter result of our contribution.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.