В статье рассматривается линейный матрично-дифференциальный оператор n-го порядка вида An . Устанавливается операторный аналог бинома Ньютона, с помощью которого для операторов An и A -1 n получено аналитическое выражение. Приводится лемма о решении линейного уравнения, которая применяется при исследовании абстрактной задачи Коши для алгебро-дифференциального уравнения в банаховом пространстве с кубом оператора A при старшей производной. Оператор A обладает свойством иметь 0 нормальным собственным числом. Методом каскадного расщепления уравнения и условий на, соответственно, уравнения и условия в подпространствах меньших размерностей определены условия существования, единственности решения, и найдено это решение. Как приложение, полученные результаты при n=3 применяются при решении смешанной задачи для уравнения в частных производных четвертого порядка. К таким уравнениям относится обобщенное волновое уравнение на мелкой воде, обобщенное уравнение Лиувилля.
The article considers a linear matrix-differential operator of the n n-th order of the form An . For it and for the operator A -1 n , an analytical expression is derived, for which an operator analog of the Newton binomial is obtained. A lemma on the solution of a linear equation is given. It is used in the study of the abstract Cauchy problem for an algebro-differential equation in a Banach space with the cube of the operator A at the highest derivative. The operator A has the property of having 0 as a normal eigenvalue. Conditions for the existence and uniqueness of the solution are determined; the solution is found, for which the method of cascade splitting of the equation and conditions into the corresponding equations and conditions in subspaces of lower dimensions is used. As an application, the results obtained for n=3 are used in solving a mixed problem for a fourth-order partial differential equation. These equations include the generalized shallow water wave equation and the generalized Liouville equation.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.