В статье исследуется антипериодическая краевая задача для неявного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения f t; x; x =0, x0 +x(τ)=0. Предполагается, что отображение f :R×R n ×R n →R k , определяющее рассматриваемое уравнение, является гладким и удовлетворяет условию равномерной невырожденностипервой производной infcovf v ' t,x,v : t,x,v ∈R×Rn ×Rn >0. Здесь cov A - константа Банаха линейного оператора A . Предположение равномерной невырожденности выполняется, в частности, для отображения f, определяющего нормальное обыкновенное дифференциальное уравнение. Для неявных уравнений получены достаточные условия существования решения антипериодической краевой задачи и найдены оценки решений. Сформулированы следствия для нормальных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для доказательства основного результата исходное неявное уравнение сводится к нормальному дифференциальному уравнению за счет применения нелокальной теоремы о неявной функции. Затем в работе доказывается вспомогательное утверждение о разрешимости уравнения x+ψx =0, представляющее собой аналог теоремы Брауэра о неподвижной точке. Показывается, что отображение ψ, ставящее произвольной начальной точке x 0 значение решения задачи Коши в точке τ, корректно определено и удовлетворяет предположениям вспомогательного утверждения, что доказывает существование решения исходной краевой задачи.
The paper is devoted to the investigation of the antiperiodic boundary value problem for an implicit nonlinear ordinary differential equation f t; x; x =0, x0 +x(τ)=0. We assume that the mapping f:R×Rn ×Rn →Rk defining the equation under consideration is smooth and satisfies the condition of uniform nondegeneracy of the first derivative infcovf v ' t,x,v : t,x,v ∈R×Rn ×Rn >0. Here cov A is the Banach constant of the linear operator A . The assumption of uniform nondegeneracy holds, in particular, for the mapping f defining an explicit ordinary differential equation. For implicit equations, sufficient conditions for the existence of a solution to an antiperiodic boundary value problem are obtained, and estimates for solutions are found. Corollaries for normal ordinary differential equations are formulated. To prove the main result, the original implicit equation is reduced to an explicit differential equation by applying a nonlocal implicit function theorem. Then we prove an auxiliary assertion on the solvability of the equation x + ψx =0, which is an analog of Brouwer’s fixed point theorem. It is shown that the mapping ψ, that assigns the value of the solution of the Cauchy problem at the point τ to an arbitrary initial point x 0 , is well defined and satisfies the assumptions of the auxiliary statement. This reasoning completes the proof of the existence of a solution to the boundary value problem.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.