Рассматривается дифференциальное уравнение с запаздыванием , относительно неизвестной функции , абсолютно непрерывной на каждом конечном отрезке. Предполагается, что функция суперпозиционно измерима, функции , измеримы и при п. в. выполнено . Если имеет место более обременительное неравенство при некотором , то задача Коши для этого уравнения однозначно разрешима и любое решение продолжаемо на всю полуось . В то же время задача Коши для соответствующего дифференциального уравнения , как известно, может иметь беcконечно много решений, а максимальный интервал существования решений может быть конечным. В статье рассмотрен вопрос, какими из перечисленных свойств обладает уравнение с запаздыванием (единственность решения или бесконечность множества решений, бесконечность или конечность максимального интервала существования решений), если функция имеет всего лишь одну «критическую» точку — точку, для которой мера множества является положительной при любом . Оказывается, что при такой функции запаздывания свойства решений близки свойствам решений обыкновенного дифференциального уравнения. Кроме того, рассмотрена задача о зависимости решений уравнения с запаздыванием от функции .