mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2022-27-139-247-260mathematics-152Research ArticleСТАТЬИARTICLESОб устойчивости и непрерывной зависимости от параметра множества точек совпадения двух отображений, действующих в пространство с расстояниемOn stability and continuous dependence on parameter of the set of coincidence points of two mappings acting in a space with a distanceЖуковскаяТатьяна ВладимировнаZhukovskaiaTatiana V.t_zhukovskaia@mail.ruМерчелаВассимMerchelaWassimmerchela.wassim@gmail.comФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет»РоссияTambov State Technical UniversityRussian FederationФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»РоссияDerzhavin Tambov State UniversityRussian Federation20220710202227139247260Copyright © Жуковская Т.В., Мерчела В., 20222022Жуковская Т.В., Мерчела В.Zhukovskaia T.V., Merchela W.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/152

Рассматривается задача о точках совпадения двух отображений ψ, φ , действующих из метрического пространства (X, ρ) в пространство (Y, d), в котором расстояние d обладает лишь одним из свойств метрики: d( y1 , y2 )=0⇔ y1 = y2 , и не предполагается ни симметричным, ни удовлетворяющим неравенству треугольника. Исследуется вопрос о корректности уравнения ψx =φ(x), определяющего точку совпадения. Показано, что если x=ξ - решение этого уравнения, то для любой последовательности α i -накрывающих отображений ψ i :X→Y и любой последовательности β i -липшицевых отображений φ i :X→Y, α i > β i ≥0, в случае сходимости d( φ i (ξ), ψ i (ξ))→0 уравнение ψ i (x)= φ i (x) при любом i обладает решением x= ξ i таким, что ρ( ξ i ,ξ)→0 . Далее в статье исследуется зависимость от параметра t - элемента топологического пространства T множества Coin(t) точек совпадения отображений ψ(·, t),φ(·, t):X→Y. В предположении, что первое из этих отображений является -накрывающим, второе - β -липшицевым, получено утверждение о полунепрерывности сверху, полунепрерывности снизу и непрерывности многозначного отображения Coin:T⇒ X.

We consider the problem of coincidence points of two mappings ψ, φ , acting from a metric space (X , ρ) into a space (Y , d), in which a distance d has only one of the properties of the metric: d( y1 , y2 )=0⇔ y1 = y2 , and is assumed to be neither symmetric nor satisfying the triangle inequality. The question of well-posedness of the equation ψx =φ(x), which determines the coincidence point, is investigated. It is shown that if x=ξ is a solution to this equation, then for any sequence of α i -covering mappings ψ i : X→Y and any sequence of β i -Lipschitz mappings φ i : X→Y , α i > β i ≥0, in the case of convergence d( φ i ( ξ), ψ i ( ξ))→0 , equation ψ i ( x)= φ i ( x) has, for any i , a solution x= ξ i such that ρ( ξ i , ξ)→0 . Further in the article, the dependence of the set Coin(t ) of coincidence points of mappings ψ(·, t ), φ(·, t ): X→Y on a parameter t , an element of the topological space T , is investigated. Assuming that the first of these mappings is α -covering and the second one is β -Lipschitz, we obtain an assertion on upper semicontinuity, lower semicontinuity, and continuity of the set-valued mapping Coin:T ⇒ X.

корректность уравнениянепрерывная зависимость от параметраточка совпадения двух отображенийрасстояниенакрывающее отображениеwell-posedness of equationcontinuous dependence on parametercoincidence point of two mappingsdistancecovering mappingReferencesГ.М. Вайникко, “Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений”, Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 16, ВИНИТИ, М., 1979, 5-53.Г.М. Вайникко, “Регулярная сходимость операторов и приближенное решение уравнений”, Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 16, ВИНИТИ, М., 1979, 5-53.Z. Artstein, “Continuous dependence of solutions of operator equations. I”, Trans. Amer. Math. Soc., 231:1 (1977), 143-166.Z. Artstein, “Continuous dependence of solutions of operator equations. I”, Trans. Amer. Math. Soc., 231:1 (1977), 143-166.Е.С. Жуковский, “Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра”, Матем. сб., 197:10 (2006), 33-56.Е.С. Жуковский, “Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтерра”, Матем. сб., 197:10 (2006), 33-56.А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский, “О глобальной разрешимости нелинейных уравнений с параметрами”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 496 (2021), 68-72.А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский, “О глобальной разрешимости нелинейных уравнений с параметрами”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 496 (2021), 68-72.А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский, “Глобальная и полулокальная теоремы о неявной и об обратной функции в банаховых пространствах”, Матем. сб., 213:1 (2022), 3-45.А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский, “Глобальная и полулокальная теоремы о неявной и об обратной функции в банаховых пространствах”, Матем. сб., 213:1 (2022), 3-45.А.В. Арутюнов, “Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений”, Математические заметки, 86:2 (2009), 163-169.А.В. Арутюнов, “Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений”, Математические заметки, 86:2 (2009), 163-169.A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “On the stability of fixed points and coincidence points of mappings in the generalized Kantorovich’s theorem”, Topology and its Applications, 275 (2020).A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “On the stability of fixed points and coincidence points of mappings in the generalized Kantorovich’s theorem”, Topology and its Applications, 275 (2020).Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений”, Уфимский матемтический журнал, 12:4 (2020), 42-55.Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений”, Уфимский матемтический журнал, 12:4 (2020), 42-55.Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Метод исследования интегральных уравнений, использующий множество накрывания оператора Немыцкого в пространствах измеримых функций”, Дифференциальные уравнения, 58:1 (2022), 93-104.Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Метод исследования интегральных уравнений, использующий множество накрывания оператора Немыцкого в пространствах измеримых функций”, Дифференциальные уравнения, 58:1 (2022), 93-104.L. Narici, E. Beckenstein, Topological Vector Spaces, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, 296, 2nd ed., Taylor & Francis Group, New York, 2011, 628 pp.L. Narici, E. Beckenstein, Topological Vector Spaces, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, 296, 2nd ed., Taylor & Francis Group, New York, 2011, 628 pp.А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “Теория (q1, q2)-квазиметрических пространств и точки совпадения”, Докл. РАН., 469:5 (2016), 527-531.А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “Теория (q1, q2)-квазиметрических пространств и точки совпадения”, Докл. РАН., 469:5 (2016), 527-531.А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “-квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 3-32.А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “-квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 3-32.Е.С. Жуковский, “Неподвижные точки сжимающих отображений -квазиметрических пространств”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1338-1350.Е.С. Жуковский, “Неподвижные точки сжимающих отображений -квазиметрических пространств”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1338-1350.A.V. Arutyunov, A.V. Greshnov, L.V. Lokoutsievskii, K.V. Storozhuk, “Topological and geometrical properties of spaces with symmetric and nonsymmetric -quasimetrics”, Topology and its Applications, 221 (2017), 178-194.A.V. Arutyunov, A.V. Greshnov, L.V. Lokoutsievskii, K.V. Storozhuk, “Topological and geometrical properties of spaces with symmetric and nonsymmetric -quasimetrics”, Topology and its Applications, 221 (2017), 178-194.З.Т. Жуковская, С.Е. Жуковский, Р. Сенгупта, “О точных неравенствах треугольника в -квазиметрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика, 24:125 (2019), 33-38.З.Т. Жуковская, С.Е. Жуковский, Р. Сенгупта, “О точных неравенствах треугольника в -квазиметрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика, 24:125 (2019), 33-38.В. Мерчела, “К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 65-73.В. Мерчела, “К теореме Арутюнова о точках совпадения двух отображений метрических пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:121 (2018), 65-73.Т.В. Жуковская, В. Мерчела, А.И. Шиндяпин, “О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика, 26:4 (2020), 52-63.Т.В. Жуковская, В. Мерчела, А.И. Шиндяпин, “О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика, 26:4 (2020), 52-63.D. Doitchinov, “On completeness in quasi-metric spaces”, Topology and its Applications, 30:2 (1988), 127-148.D. Doitchinov, “On completeness in quasi-metric spaces”, Topology and its Applications, 30:2 (1988), 127-148.А.В. Арутюнов, “Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки”, Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151-155.А.В. Арутюнов, “Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки”, Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151-155.А.В. Арутюнов, “Точки совпадения двух отображений”, Функц. анализ и его прил., 48:1 (2014), 89-93.А.В. Арутюнов, “Точки совпадения двух отображений”, Функц. анализ и его прил., 48:1 (2014), 89-93.С. Бенараб, Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 52-63.С. Бенараб, Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 52-63.А.В. Арутюнов, Лекции по выпуклому и многозначному анализу, Физматлит, М., 2014.А.В. Арутюнов, Лекции по выпуклому и многозначному анализу, Физматлит, М., 2014.Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, Либроком, М., 2011.Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, Либроком, М., 2011.Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “О непрерывной зависимости от параметра множества решений операторного уравнения”, Изв. ИМИ УдГУ, 54 (2019), 27-37.Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “О непрерывной зависимости от параметра множества решений операторного уравнения”, Изв. ИМИ УдГУ, 54 (2019), 27-37.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.