mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державинаmathematics-16Research ArticleНАУЧНЫЕ СТАТЬИORIGINAL ARTICLESФункции Эрмита и скалярное произведение в пространстве СоболеваHermite functions and inner product in Sobolev spaceБудрефМохамед АхмедBoudrefMohamed Ahmedm.boudref@univ-bouira.dzУниверситет БуираРоссияUniversity of BouiraRussian Federation20230607202328142155168Copyright © Будреф М.А., 20232023Будреф М.А.Boudref M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/16

Рассмотрим ортогональную систему Эрмита четного индекса, определенную на формулой где через обозначен полином Эрмита степени . В данной работе рассматривается обобщенная система с , , ортогональная относительно скалярного произведения Соболевского типа на с и порожденная системой . Основной целью работы является изучение некоторых свойств, связанных с системой , Изучаются условия на функцию , заданную в обобщенной ортогональной системе Эрмита, достаточные для ее разложения в обобщенный смешанный ряд Фурье, а также сходимость этого ряда Фурье. Второй результат статьи — доказательство рекуррентной формулы для системы . Также обсуждаются асимптотические свойства этих функций, что составляет заключительную часть работы.

Let us consider the orthogonal Hermite system of even index defined on , where by we denote a Hermite polynomial of degree . In this paper, we consider a generalized system with , which is orthogonal with respect to the Sobolev type inner product on , i.e. with and generated by . The main goal of this work is to study some properties related to the system , We study the conditions on a function , given in a generalized Hermite orthogonal system, for it to be expandable into a generalized mixed Fourier series as well as the convergence of this Fourier series. The second result of the paper is the proof of a recurrent formula for the system . We also discuss the asymptotic properties of these functions, and this concludes our contribution.

скалярное произведениепространство Соболевамногочлены Эрмитаinner productSobolev spaceHermite polynomialsReferencesI.I. Sharapudinov, "Approximation of functions of variable smoothness by Fourier-Legendre sums", Sb. Math., 191:5 (2000), 759-777.I.I. Sharapudinov, "Approximation of functions of variable smoothness by Fourier-Legendre sums", Sb. Math., 191:5 (2000), 759-777.I. Sharapudinov, Mixed Series of Orthogonal Polynomials, Daghestan Sientific Centre Press, Makhachkala, 2004.I. Sharapudinov, Mixed Series of Orthogonal Polynomials, Daghestan Sientific Centre Press, Makhachkala, 2004.I.I. Sharapudinov, "Approximation properties of mixed series in terms of Legendre polynomials on the classes W^r", Sb. Math., 197:3 (2006), 433-452.I.I. Sharapudinov, "Approximation properties of mixed series in terms of Legendre polynomials on the classes W^r", Sb. Math., 197:3 (2006), 433-452.I.I. Sharapudinov, "Sobolev orthogonal systems of functions associated with an orthogonal system", Izv. Math., 82:1 (2018), 212-244.I.I. Sharapudinov, "Sobolev orthogonal systems of functions associated with an orthogonal system", Izv. Math., 82:1 (2018), 212-244.M.A. Boudref, "Inner product and Gegenbauer polynomials in Sobolev space", Russian Universities Reports. Mathematics, 27:138 (2022), 150-163.M.A. Boudref, "Inner product and Gegenbauer polynomials in Sobolev space", Russian Universities Reports. Mathematics, 27:138 (2022), 150-163.M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1-st ed., Dover Publications, USA, 1964.M. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1-st ed., Dover Publications, USA, 1964.G. Szego, Orthogonal Plynomials. V. 23, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1975, 432 pp.G. Szego, Orthogonal Plynomials. V. 23, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1975, 432 pp.V. Smirnov, Higher Mathematics Courses. V. III, Mir Publ., Moscow, 1972 (In French).V. Smirnov, Higher Mathematics Courses. V. III, Mir Publ., Moscow, 1972 (In French).R. Askey, S. Wainger, "Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series", American Journal of Mathematics, 87 (1965), 698-708.R. Askey, S. Wainger, "Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series", American Journal of Mathematics, 87 (1965), 698-708.B. Muckenhoupt, "Mean convergence of Hermite and Laguerre series. II", Transactions of the American Mathematical Society, 147:2 (1970), 433-460.B. Muckenhoupt, "Mean convergence of Hermite and Laguerre series. II", Transactions of the American Mathematical Society, 147:2 (1970), 433-460.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.