Настоящая работа посвящена исследованию алгеб\-ро-диф\-фе\-рен\-циаль\-ного\linebreak уравнения\begin{equation*}A\frac{d^2u}{dt^2}=B\frac{du}{dt}+Cu(t)+f(t),\end{equation*}где $A,$ $B,$ $C$ --- замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства $E_1$ в банахово пространство $E_2,$ с всюду плотными в $E_1$ областями определения. Оператор $A$ фредгольмов с нулевым индексом (далее, фредгольмов), функция $f(t)$ принимает значения в $E_2$; $t\in[0;T]$. Ядро оператора $A$ полагается одномерным. Для разрешения уравнения относительно производной применяется метод каскадной декомпозиции, заключающийся в пошаговом расщеплении уравнения и условий к соответствующим уравнениям и условиям в подпространствах меньших размерностей. Рассматриваются одношаговое и двухшаговое расщепления, получены теоремы о разрешимости уравнения. Теоремы применяются для получения условий существования решения задачи Коши. Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, решается однородная задача Коши с заданными операторными коэффициентами в пространстве $\mathbb{R}^2$. Для этого рассматривается разрешенное дифференциальное уравнение второго порядка в конечномерном пространстве $\mathbb{C}^m$\begin{equation*}\frac{d^2u}{dt^2}=H\frac{du}{dt}+Ku(t).\end{equation*}Исследуется характеристическое уравнение $M(\lambda):=\det(\lambda^2 I-\lambda H-K)=0$. Для многочлена $M(\lambda)$ в случае $m=2,$ $m=3$ получены формулы Маклорена. Определено общее решение уравнения в случае единичной алгебраической кратности характеристического уравнения.
This article is devoted to the study of the algebro-differential equation\begin{equation*}A\frac{d^2u}{dt^2}=B\frac{du}{dt}+Cu(t)+f(t),\end{equation*}where $A,$ $B,$ $C$ are closed linear operators acting from a Banach space $E_1$ into a Banach space $E_2$ whose domains are everywhere dense in $E_1$. $A$ is a Fredholm operator with zero index (hereinafter, Fredholm), the function $f(t)$ takes values in $E_2$; $t\in[0;T]$. The kernel of the operator $A$ is assumed to be one-dimensional. For solvability of the equation with respect to the derivative, the method of cascade splitting is applied, consisting in the stepwise splitting of the equation and conditions to the corresponding equations and conditions in subspaces of lower dimensions. One-step and two-step splitting are considered, theorems on the solvability of the equation are obtained. The theorems are used to obtain the existence conditions for a solution to the Cauchy problem. In order to illustrate the results obtained, a homogeneous Cauchy problem with given operator coefficients in the space $\mathbb{R}^2$ is solved. For this, it is considered thesecond-order differential equation in the finite-dimensional space $\mathbb{C}^m$\begin{equation*}\frac{d^2u}{dt^2}=H\frac{du}{dt}+Ku(t).\end{equation*}The characteristic equation $M(\lambda):=\det(\lambda^2 I-\lambda H-K)=0$ is studied. For the polynomial $M(\lambda),$ in the cases $m=2,$ $m=3,$ the Maclaurin formulas are obtained. Generalsolution of the equation is defined in the case of the unit algebraic multiplicity of the characteristic equation.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.