Исследуются модели динамики популяций, заданные разностными уравнениями со случайными параметрами. При отсутствии промысла развитие популяции в моменты времени $k=1,2,\ldots$ описывается уравнением $X(k+1)=f\big(X(k)\big),$ где $X(k)$~--- количество возобновляемого ресурса, $f(x)$~--- вещественная дифференцируемая функция. Предполагается, что в моменты $k=1,2,\ldots$ происходит изъятие случайной доли популяции $\omega\in[0,1].$ Процесс эксплуатации прекращается, когда в момент $k$ доля собранного ресурса окажется больше некоторого значения $u(k)\in[0,1),$ чтобы сохранить часть популяции для воспроизводства и увеличения размера следующего сбора. При этом доля добываемого ресурса будет равна $\ell(k)=\min\big\{\omega(k),u(k)\big\}, k=1,2,\ldots.$ Тогда модель эксплуатируемой популяции имеет вид X(k+1)=f((1-l(k) )X(k) ),k=1,2,..., где $x(0)$ - начальная численность популяции, $X(1)=f\big(x(0)\big).$Для стохастической модели популяции исследуется задача выбора управления $\overline{u}=(u(1),\ldots,u(k),\ldots),$ ограничивающего в каждый момент времени $k$ долю собираемого ресурса, при котором предел функции средней временной выгоды H(l¯,x(0))≐limn→∞∑k=1nX(k)l(k), где l¯≐(l(1),…,l(k),…)существует и его можно оценить снизу с вероятностью единица по возможности наибольшим числом. Если уравнение $X(k+1)=f\big(X(k)\big)$ имеет решение вида $X(k)\equiv x^*,$\linebreak то это решение называется положением равновесия данного уравнения. Для любого\linebreak $k=1,2,\ldots$ вводятся в рассмотрение случайные величины $A(k+1,x)=f\bigl((1-\ell(k))A(k,x)\bigr),$ $B(k+1,x^*)=f\bigl((1-\ell(k))B(k,x^*)\bigr)$; здесь $A(1,x)=f(x),$ $B(1,x^*)=x^*.$Показано, что при выполнении определенных условий существует управление $\overline{u},$ при котором справедлива оценка средней временной выгоды 1m∑k=1mM(A(k,x)l(k))≤H(l¯,x(0))≤1m∑k=1mM(B(k,x*)l(k)), где через $M$ обозначено математическое ожидание.Кроме того, получены условия существования управления $\overline{u},$ при котором с вероятностью единица существует положительный предел средней временной выгоды, равный H(ℓ¯,x(0))=<br/>limk→∞MA(k,x)ℓ(k)=<br/>limk→∞MB(k,x*)ℓ(k).\vspace-1exH(\overline{\ell},x(0)) =<br />\lim\limits_{k\to\infty} MA(k,x)\ell(k) =<br />\lim\limits_{k\to\infty} MB(k,x^*)\ell(k).\vspace{-1ex}
We investigate population dynamics models given by difference equations with stochastic parameters. In the absence of harvesting, the development of the population at time points $k=1,2,\ldots$ is given by the equation $X(k+1)=f\big(X(k)\big),$ where $X(k)$ is amount of renewable resource, $f(x)$ is a real differentiable function. It is assumed that at times $k=1,2,\ldots$ a random fraction $\omega\in[0,1]$ of the population is harvested. The harvesting process stops when at the moment $k$ the share of the collected resource becomes greater than a certain value $u(k)\in[0,1),$ in order to save a part of the population for reproduction and to increase the size of the next harvest. In this case, the share of the extracted resource is equal to $\ell(k)=\min\big\{\omega(k),u(k)\big\}, k=1,2,\ldots.$ Then the model of the exploited population has the formX(k+1)=f((1-l(k) )X(k) ),k=1,2,...,where $x(0)$ is the initial population size.For the stochastic population model, we study the problem of choosing a control $\overline{u}=(u(1),\ldots,u(k),\ldots)$ that limits at each time moment $k$ the shareof the extracted resource and under which the limit of the averagetime profit functionH(l¯,x(0))≐limn→∞∑k=1nX(k)l(k), где l¯≐(l(1),…,l(k),…)exists and can be estimated from below with probability oneby as a large number as possible.If the equation $X(k+1)=f\big(X(k)\big)$ has a solution of the form $X(k)\equiv x^*,$then this solution is called the equilibrium position of the equation.For any $k=1,2,\ldots,$ we consider random variables $A(k+1,x)=f\bigl((1-\ell(k))A(k,x)\bigr),$ $B(k+1,x^*)=f\bigl((1-\ell(k))B(k,x^*)\bigr)$; here $A(1,x)=f(x),$ $B(1,x^*)=x^*.$It is shown that when certain conditions are met, there exists a control $\overline{u}$under which there holds the estimate of the average time profit1m∑k=1mM(A(k,x)l(k))≤H(l¯,x(0))≤1m∑k=1mM(B(k,x*)l(k)),where $M$ denotes the mathematical expectation.In addition, the conditions for the existence of control $\overline{u}$ are obtainedunder which there exists, with probability one, a positive limit to theaverage time profit equal toH(ℓ¯,x(0))=<br/>limk→∞MA(k,x)ℓ(k)=<br/>limk→∞MB(k,x*)ℓ(k).H(\overline{\ell},x(0)) =<br />\lim\limits_{k\to\infty} MA(k,x)\ell(k) =<br />\lim\limits_{k\to\infty} MB(k,x^*)\ell(k).
The authors declare that there are no conflicts of interest present.