В статье приведено новое свойство рекуррентных движений динамических систем. В компактном метрическом пространстве данное свойство устанавливает связь между движениями общего вида и рекуррентными движениями. Кроме того, это свойство устанавливает весьма простой характер поведения рекуррентных движений, что органично дополняет классическое определение, приведенное в монографии [В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. URSS, М., 2004]. Впервые указанное выше новое свойство рекуррентных движений фактически было анонсировано в более ранней статье авторов [А. П. Афанасьев, С. М. Дзюба. О рекуррентных траекториях, минимальных множествах и квазипериодических движениях динамических систем // Дифференц. уравнения. 2005, т. 41, № 11, с. 1469–1474]. В этой же статье приведено краткое доказательство соответствующей теоремы. Это доказательство оказалось слишком схематичным. Кроме того, оно (доказательство) содержит ряд очевидных пробелов. Некоторое время назад выяснилось, что на основании данного нового свойства можно показать, что в компактном метрическом пространстве - и -предельные множества каждого движения являются минимальными. Из этого следует, что в компактном метрическом пространстве каждое положительно (отрицательно) устойчивое по Пуассону движение является рекуррентным. Значение этих результатов очевидно. Они ясно указывают причину того, что в настоящее время отсутствуют критерии существования устойчивых по Пуассону нерекуррентных движений. Более того, они показывают причину того, что известные попытки построения устойчивых по Пуассону нерекуррентных движений на компактных замкнутых многообразиях оказались неудачными; во всяком случае примеров таких движений нет. Ключевым для нового свойства минимальных множеств является указанное новое свойство рекуррентных движений. Поэтому в настоящей статье мы приводим полное и подробное доказательство этого свойства. Впервые результаты настоящей работы были доложены 28 января 2020 г. на семинаре Добрушинской математической лаборатории в ИППИ РАН им. А.А. Харкевича.
The article presents a new property of recurrent motions of dynamical systems. Within a compact metric space, this property establishes the relation between motions of general type and recurrent motions. Besides, this property establishes rather simple behaviour of recurrent motions, thus naturally corroborating the classical definition given in the monograph [V.V. Nemytskii, V.V. Stepanov. Qualitative Theory of Differential Equations. URSS Publ., Moscow, 2004 (In Russian)]. Actually, the above-stated new property of recurrent motions was announced, for the first time, in the earlier article by the same authors [A.P. Afanas’ev, S. M. Dzyuba. On recurrent trajectories, minimal sets, and quasiperoidic motions of dynamical systems // Differential Equations. 2005, v. 41, № 11, p. 1544–1549]. The very same article provides a short proof for the corresponding theorem. The proof in question turned out to be too schematic. Moreover, it (the proof) includes a range of obvious gaps. Some time ago it was found that, on the basis of this new property, it is possible to show that within a compact metric space - and -limit sets of each and every motion are minimal. Therefore, within a compact metric space each and every motion, which is positively (negatively) stable in the sense of Poisson, is recurrent. Those results are of obvious significance. They clearly show the reason why, at present, there are no criteria for existence of non-recurrent motions stable in the sense of Poisson. Moreover, those results show the reason why the existing attempts of creating non-recurrent motions, stable in the sense of Poisson, on compact closed manifolds turned out to be futile. At least, there are no examples of such motions. The key point of the new property of minimal sets is the stated new property of recurrent motions. That is why here, in our present article, we provide a full and detailed proof for that latter property. For the first time, the results of the present study were reported on the 28th of January, 2020 at a seminar of Dobrushin Mathematic Laboratory at the Institute for Information Transmission Problems named after A. A. Kharkevich of the Russian Academy of Sciences.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.