mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державинаmathematics-180Research ArticleНАУЧНЫЕ СТАТЬИORIGINAL ARTICLESМаксимальные сцепленные системы на семействах измеримых прямоугольниковMaximal linked systems on families of measurable rectanglesЧенцовАлександр ГеоргиевичChentsovAleksandr G.chentsov@imm.uran.ruФГБУН «Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского» Уральского отделения Российской академии наук; ФГАОУ ВО «Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина»РоссияN. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences; Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. YeltsinRussian Federation2021060420212613377104Copyright © Ченцов А.Г., 20212021Ченцов А.Г.Chentsov A.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/180

Рассматриваются сцепленные и максимальные сцепленные системы (МСС) на π -системах измеримых (в широком смысле) прямоугольников (π-система есть семейство множеств, замкнутое относительно конечных пересечений). Структуры в виде семейства измеримых прямоугольников используются в теории меры и теории вероятностей и приводят обычно к полуалгебре подмножеств декартова произведения. В настоящей работе пространства-сомножители предполагаются оснащенными π-системами с «нулем» и «единицей», что, в частности, может соответствовать стандартной измеримой структуре в виде полуалгебры, алгебры или σ-алгебры множеств. В общем случае семейство измеримых прямоугольников (измеримость отождествляется с принадлежностью к π-системе) само образует π-систему множества-произведения, что позволяет рассматривать МСС на данной π-системе (измеримых прямоугольников). Устанавливается следующее основное свойство: во всех рассматриваемых вариантах π-системы измеримых прямоугольников МСС на произведении исчерпываются произведениями МСС на пространствах-сомножителях. При этом в случае бесконечного произведения, наряду с традиционным, рассматривается «ящичный» вариант, допускающий естественную аналогию с базой ящичной топологии. Для случая произведения двух широко понимаемых измеримых пространств установлено одно свойство гомеоморфности, касающееся оснащений топологиями стоуновского типа.

Linked and maximal linked systems (MLS) on π-systems of measurable (in the wide sense) rectangles are considered (π-system is a family of sets closed with respect to finite intersections). Structures in the form of measurable rectangles are used in measure theory and probability theory and usually lead to semi-algebra of subsets of cartesian product. In the present article, sets-factors are supposed to be equipped with π-systems with “zero” and “unit”. This, in particular, can correspond to a standard measurable structure in the form of semialgebra, algebra, or σ-algebra of sets. In the general case, the family of measurable rectangles itself forms a π-system of set-product (the measurability is identified with belonging to a π- system) which allows to consider MLS on a given π-system (of measurable rectangles). The following principal property is established: for all considered variants of π-system of measurable rectangles, MLS on a product are exhausted by products of MLS on sets-factors. In addition, in the case of infinity product, along with traditional, the “box” variant allowing a natural analogy with the base of box topology is considered. For the case of product of two widely understood measurable spaces, one homeomorphism property concerning equipments by the Stone type topologies is established.

сцепленные системыизмеримые прямоугольникиπ -системаlinked systemsmeasurable rectanglesπ -systemРабота выполнена при поддержке РФФИ (проект № 19-01-00371_а).The work is partially supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00371_а).ReferencesА. Г. Ченцов, “Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем”, Тр. ИММ УрО РАН, 24, 2018, 257–272.А. Г. Ченцов, “Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем”, Тр. ИММ УрО РАН, 24, 2018, 257–272.А. Г. Ченцов, “Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы множеств”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:3 (2017), 365–388.А. Г. Ченцов, “Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы множеств”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:3 (2017), 365–388.А. Г. Ченцов, “Суперкомпактные пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 240–257.А. Г. Ченцов, “Суперкомпактные пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 240–257.J. de Groot, "Superextensions and supercompactness", Extension Theory of Topological Structures and its Applications, I International Symposium "Extension Theory of Topological Structures and its Applications" (Berlin, 1969), Proceedings of the Symposium, VEB Deutscher Verlag Wis., Berlin, 1969, 89-90.J. de Groot, "Superextensions and supercompactness", Extension Theory of Topological Structures and its Applications, I International Symposium "Extension Theory of Topological Structures and its Applications" (Berlin, 1969), Proceedings of the Symposium, VEB Deutscher Verlag Wis., Berlin, 1969, 89-90.J. van Mill, "Supercompactness and Wallman spaces", Mathematical Centre Tracts. V. 85, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1977, 238 pp.J. van Mill, "Supercompactness and Wallman spaces", Mathematical Centre Tracts. V. 85, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1977, 238 pp.M. Strok, A. Szymanski, "Compact metric spaces have binary subbases", Fund. Math, 89:1 (1975), 81-91.M. Strok, A. Szymanski, "Compact metric spaces have binary subbases", Fund. Math, 89:1 (1975), 81-91.В. В. Федорчук, В. В. Филиппов, Общая топология. Основные конструкции, Физматлит, М., 2006, 336 с.В. В. Федорчук, В. В. Филиппов, Общая топология. Основные конструкции, Физматлит, М., 2006, 336 с.А. В. Архангельский, “Компактность”, Общая топология – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 50, ВИНИТИ, М., 1989, 5–128.А. В. Архангельский, “Компактность”, Общая топология – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 50, ВИНИТИ, М., 1989, 5–128.А. В. Булинский, А. Н. Ширяев, Теория случайных процессов, Физматлит, М., 2005, 402 с.А. В. Булинский, А. Н. Ширяев, Теория случайных процессов, Физматлит, М., 2005, 402 с.А. Г. Ченцов, “К вопросу о представлении ультрафильтров в произведении измеримых пространств”, Тр. ИММ УрО РАН, 19, 2013, 307–319.А. Г. Ченцов, “К вопросу о представлении ультрафильтров в произведении измеримых пространств”, Тр. ИММ УрО РАН, 19, 2013, 307–319.А. Г. Ченцов, Элементы конечно-аддитивной теории меры, II, Уральский государственный технический университет – УПИ, Екатеринбург, 2010, 541 с.А. Г. Ченцов, Элементы конечно-аддитивной теории меры, II, Уральский государственный технический университет – УПИ, Екатеринбург, 2010, 541 с.К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств, Мир, М., 1970, 416 с.К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств, Мир, М., 1970, 416 с.Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977, 624 с.Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977, 624 с.Ж. Неве, Математические основы теории вероятностей, Мир, М., 1969, 309 с.Ж. Неве, Математические основы теории вероятностей, Мир, М., 1969, 309 с.А. Г. Ченцов, “Фильтры и сцепленные семейства множеств”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 30:3 (2020), 444–467.А. Г. Ченцов, “Фильтры и сцепленные семейства множеств”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 30:3 (2020), 444–467.А. Г. Ченцов, “О суперкомпактности пространства ультрафильтров с топологией волмэновского типа”, Изв. ИМИ УдГУ, 54 (2019), 74–101.А. Г. Ченцов, “О суперкомпактности пространства ультрафильтров с топологией волмэновского типа”, Изв. ИМИ УдГУ, 54 (2019), 74–101.В. И. Богачев, Слабая сходимость мер, Институт компьютерных исследований, М.-Ижевск, 2016, 396 с.В. И. Богачев, Слабая сходимость мер, Институт компьютерных исследований, М.-Ижевск, 2016, 396 с.Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986, 751 с.Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986, 751 с.A. G. Chentsov, S. I. Morina, Extensions and Relaxations, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht–Boston–London, 2002, 408 с.A. G. Chentsov, S. I. Morina, Extensions and Relaxations, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht–Boston–London, 2002, 408 с.Н. Бурбаки, Общая топология. Основные структуры, Наука, М., 1968, 272 с.Н. Бурбаки, Общая топология. Основные структуры, Наука, М., 1968, 272 с.Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян, Общая топология, Высшая школа, М., 1979, 336 с.Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян, Общая топология, Высшая школа, М., 1979, 336 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.