mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державинаmathematics-19Research ArticleНАУЧНЫЕ СТАТЬИORIGINAL ARTICLESОб исследовании задачи Неймана для эллиптических систем двух уравнений шестого порядка на плоскостиOn the study of the Neumann problem for elliptic system of two sixth order equations on the planehttps://orcid.org/0000-0001-9851-9895ОдинабековДжасур МузофировичОdinabekovJasur M.jasur-79@inbox.ruГОУ «Филиал Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова в городе Душанбе»РоссияBranch of Lomonosov Moscow State University in DushanbeRussian Federation20230607202328142193202Copyright © Одинабеков Д.М., 20232023Одинабеков Д.М.Оdinabekov J.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/19

Как известно, на основе применения методов теории сингулярных интегральных уравнений были получены тонкие результаты в теории дифференциальных уравнений в частных производных. В настоящей работе изучается вопрос о разрешимости задачи Неймана для эллиптической системы двух уравнений шестого порядка с двумя независимыми переменными по ограниченной области. При исследовании данной задачи используется метод, разработанный Б. Боярским, суть которого заключается в построении матричной функции по главной части системы и разбиении полиномов на гомотопические классы. С помощью этого подхода нами показана эллиптичность рассматриваемой системы. Также показано, что в соответствии с гомотопическими классами эллиптическая система двух уравнений с двумя независимыми переменными шестого порядка эквивалентным образом приводится к сингулярному интегральному уравнению по ограниченной области. Методом перехода к эквивалентному сингулярному интегральному уравнению найдены эффективные условия нетеровости и получена формула для вычисления индекса изучаемой задачи.

As it is known, on the basis of the methods of the theory of singular integral equations, fine results were obtained in the theory of partial differential equations. In this paper, we study the question of solvability of the Neumann problem for an elliptic system of two six order equations with two independent variables in a bounded domain. During the study of this problem, the method developed by Boyarsky is used. The essence of this method is to construct a matrix function on base of the main part of the given system and split polynomials into homotopy classes. Using this approach, the ellipticity of the system under consideration is proved. It is also shown that, in accordance with homotopy classes, an elliptic system of two sixth order equations with two independent variables can be equivalently reduced to a singular integral equation over a bounded domain. Using the method of passing to an equivalent singular integral equation over a bounded domain, effective Noetherian conditions are found, and a formula for calculating the index of the problem is obtained.

эллиптическая системазадача Нейманасингулярные интегральные уравнениянетеровостьиндекс задачиelliptic systemNeumann problemsingular integral equationsNoetherian conditionsproblem indexReferencesГ. Джангибеков, “Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам для эллиптических систем уравнений на плоскости”, Докл. РАН, 330:4 (1993), 415–419.Г. Джангибеков, “Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам для эллиптических систем уравнений на плоскости”, Докл. РАН, 330:4 (1993), 415–419.М.И. Вишик, “О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений”, Матем. сб., 29(71):3 (1951), 615–676.М.И. Вишик, “О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений”, Матем. сб., 29(71):3 (1951), 615–676.А.В. Бицадзе, “Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными”, УМН, 3:6(28) (1948), 211–212.А.В. Бицадзе, “Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными”, УМН, 3:6(28) (1948), 211–212.А.В. Бицадзе, “Об эллиптических системах дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка”, Докл. АН СССР, 112:6 (1957), 983–986.А.В. Бицадзе, “Об эллиптических системах дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка”, Докл. АН СССР, 112:6 (1957), 983–986.А.В. Бицадзе, “Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа”, Сообщения АН ГрузССР, 5:8 (1944), 761–770.А.В. Бицадзе, “Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа”, Сообщения АН ГрузССР, 5:8 (1944), 761–770.А.В. Бицадзе, Уравнения смешанного типа, Наука, М., 1959.А.В. Бицадзе, Уравнения смешанного типа, Наука, М., 1959.И.Н. Векуа, Обобщенные аналитические функции, ФИЗМАТГИЗ, М., 1959.И.Н. Векуа, Обобщенные аналитические функции, ФИЗМАТГИЗ, М., 1959.И.Н. Векуа, Новые методы решения эллиптических уравнений, ГОСТЕХИЗДАТ, М., 1959.И.Н. Векуа, Новые методы решения эллиптических уравнений, ГОСТЕХИЗДАТ, М., 1959.Б.В. Боярский, “О задаче Дирихле для системы уравнений эллиптического типа в пространстве”, Бюлл. Польской АН. Серия матем. астр. и физ. наук, 8:1 (1960), 1050–1052.Б.В. Боярский, “О задаче Дирихле для системы уравнений эллиптического типа в пространстве”, Бюлл. Польской АН. Серия матем. астр. и физ. наук, 8:1 (1960), 1050–1052.Б.В. Боярский, “Некоторые граничные задачи для системы уравнений эллиптического типа”, Докл. АН СССР, 124:1 (1959), 1–4.Б.В. Боярский, “Некоторые граничные задачи для системы уравнений эллиптического типа”, Докл. АН СССР, 124:1 (1959), 1–4.А.И. Вольперт, “Об индексе задачи Дирихле”, Изв. вузов. Матем., 1960, №5, 40–42.А.И. Вольперт, “Об индексе задачи Дирихле”, Изв. вузов. Матем., 1960, №5, 40–42.В.И. Шевченко, “О совпадении индексов задач Дирихле и Неймана для эллиптических систем”, Докл. АН СССР, 221:5 (1975), 1050–1052.В.И. Шевченко, “О совпадении индексов задач Дирихле и Неймана для эллиптических систем”, Докл. АН СССР, 221:5 (1975), 1050–1052.В.И. Шевченко, “Об одной краевой задаче для вектора, голоморфного в полупространстве”, Докл. АН СССР, 154:2 (1964), 276–278.В.И. Шевченко, “Об одной краевой задаче для вектора, голоморфного в полупространстве”, Докл. АН СССР, 154:2 (1964), 276–278.В.И. Шевченко, “Об эллиптических системах трех уравнений с четырьям независимыми переменными”, Докл. АН СССР, 210:6 (1973), 1300–1302.В.И. Шевченко, “Об эллиптических системах трех уравнений с четырьям независимыми переменными”, Докл. АН СССР, 210:6 (1973), 1300–1302.В.И. Шевченко, “Об одном интегральном представлении вектора, голоморфного в шаре”, Докл. АН СССР, 153:6 (1963), 1276–1279.В.И. Шевченко, “Об одном интегральном представлении вектора, голоморфного в шаре”, Докл. АН СССР, 153:6 (1963), 1276–1279.Я.Б. Лопатинский, “Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям”, Укр. матем. журн., 5:123 (1953), 1127–1131.Я.Б. Лопатинский, “Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям”, Укр. матем. журн., 5:123 (1953), 1127–1131.А.Д. Джураев, Метод сингулярных интегральных уравнений, Наука, М., 1987.А.Д. Джураев, Метод сингулярных интегральных уравнений, Наука, М., 1987.Г. Джангибеков, “О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах”, Матем. заметки, 46:5 (1989), 91–93.Г. Джангибеков, “О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах”, Матем. заметки, 46:5 (1989), 91–93.Г. Джангибеков, “Нётеровость и индекс некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов”, Изв. вузов. Матем., 1991, №1, 19–28.Г. Джангибеков, “Нётеровость и индекс некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов”, Изв. вузов. Матем., 1991, №1, 19–28.Г. Джангибеков, “О нётеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами”, Изв. вузов. Матем., 1992, №9, 25–37.Г. Джангибеков, “О нётеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами”, Изв. вузов. Матем., 1992, №9, 25–37.Г. Джангибеков, “О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах по ограниченной области”, Докл. РАН, 383:1 (2002), 7–9.Г. Джангибеков, “О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах по ограниченной области”, Докл. РАН, 383:1 (2002), 7–9.Г. Джангибеков, Д. М. Одинабеков, “К теории нетера двумерных сингулярных операторов и ее приложения к краевым задачам для эллиптических систем уравнений четвертого порядка”, Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 26:1 (2020), 7–13.Г. Джангибеков, Д. М. Одинабеков, “К теории нетера двумерных сингулярных операторов и ее приложения к краевым задачам для эллиптических систем уравнений четвертого порядка”, Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 26:1 (2020), 7–13.Г. Джангибеков, Д.М. Одинабеков, Г.Х. Худжаназарова, “Об условиях нётеровости и индексе одного класса сингулярных интегральных операторов по ограниченной односвязной области”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2019, №2, 9–14.Г. Джангибеков, Д.М. Одинабеков, Г.Х. Худжаназарова, “Об условиях нётеровости и индексе одного класса сингулярных интегральных операторов по ограниченной односвязной области”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2019, №2, 9–14.Г. Джангибеков, Г. Худжаназарова, “О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах по ограниченной области”, Докл. РАН, 396:4 (2004), 449–454.Г. Джангибеков, Г. Худжаназарова, “О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах по ограниченной области”, Докл. РАН, 396:4 (2004), 449–454.Г. Джангибеков, Г. Худжаназарова, “О задаче Дирихле для эллиптической системы двух уравнений четвертого порядка на плоскости”, Докл. РАН, 398:2 (2004), 151–155.Г. Джангибеков, Г. Худжаназарова, “О задаче Дирихле для эллиптической системы двух уравнений четвертого порядка на плоскости”, Докл. РАН, 398:2 (2004), 151–155.П.Т. Дыбов, “О разрешимости первой краевой задачи для дифференциального уравнения эллиптического типа шестого порядка”, Докл. АН СССР, 202:6 (1972), 1251–1253.П.Т. Дыбов, “О разрешимости первой краевой задачи для дифференциального уравнения эллиптического типа шестого порядка”, Докл. АН СССР, 202:6 (1972), 1251–1253.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.