mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2021-26-135-234-240mathematics-190Research ArticleСТАТЬИARTICLESВариационные принципы Экланда и Бишопа-Фелпса в частично упорядоченных пространствахEckland and Bishop-Phelps variational principles in partially ordered spacesЖуковскаяЗухра ТагировнаZhukovskayaZukhra T.zyxra2@yandex.ruЖуковскаяТатьяна ВладимировнаZhukovskaiaTatiana V.t_zhukovskaia@mail.ruФилипповаОльга ВикторовнаFilippovaOlga V.philippova.olga@rambler.ruФГБУН «Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова» Российской академии наукРоссияV.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RASRussian FederationФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет»РоссияTambov State Technical UniversityRussian FederationФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»РоссияDerzhavin Tambov State UniversityRussian Federation20211210202126135234240Copyright © Жуковская З.Т., Жуковская Т.В., Филиппова О.В., 20212021Жуковская З.Т., Жуковская Т.В., Филиппова О.В.Zhukovskaya Z.T., Zhukovskaia T.V., Filippova O.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/190

В работе получено утверждение о минимуме графика отображения, действующего в частично упорядоченных пространствах. В доказательстве этого утверждения используется теорема о минимуме отображения в частично упорядоченном пространстве из статьи [A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy. Caristi-like condition and the existence of minima of mappings in partially ordered spaces // Journal of Optimization Theory and Applications. 2018. V. 180. Iss. 1, 48-61]. Также в данной работе показано, что это утверждение является аналогом вариационных принципов Экланда и Бишора-Фелпса - эффективных инструментов исследования экстремальных задач для функционалов, заданных на метрических пространствах. А именно, полученное в данной работе утверждение, примененное к частично упорядоченному пространству, созданному из метрического пространства введением в нем аналогов отношения порядка Бишопа-Фелпса, равносильно классическим вариационным принципам Экланда и Бишора-Фелпса.

In this paper, an assertion about the minimum of the graph of a mapping acting in partially ordered spaces is obtained. The proof of this statement uses the theorem on the minimum of a mapping in a partially ordered space from [A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy. Caristi-like condition and the existence of minima of mappings in partially ordered spaces // Journal of Optimization Theory and Applications. 2018. V. 180. Iss. 1, 48-61]. It is also shown that this statement is an analogue of the Eckland and Bishop-Phelps variational principles which are effective tools for studying extremal problems for functionals defined on metric spaces. Namely, the statement obtained in this paper and applied to a partially ordered space created from a metric space by introducing analogs of the Bishop-Phelps order relation, is equivalent to the classical Eckland and Bishop-Phelps variational principles.

частично упорядоченное пространствовариационные принципынеравенство типа Каристиинфимум функционалаpartially ordered spacevariational principlesCaristi-like inequalityinfimum of a functionalReferencesI. Ekeland, “Nonconvex minimization problems”, Bulletin of the American Mathematical Society. New Series, 1:3 (1979), 443-474.I. Ekeland, “Nonconvex minimization problems”, Bulletin of the American Mathematical Society. New Series, 1:3 (1979), 443-474.A. Granas, J. Dugundji, Fixed Point Theory, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2003, 690 pp.A. Granas, J. Dugundji, Fixed Point Theory, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2003, 690 pp.А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский, “Вариационные принципы в нелинейном анализе и их обобщение”, Математические заметки, 103:6 (2018), 948-954.А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский, “Вариационные принципы в нелинейном анализе и их обобщение”, Математические заметки, 103:6 (2018), 948-954.А.В. Арутюнов, “Условие Каристи и существование минимума ограниченной снизу функции в метрическом пространстве. Приложения к теории точек совпадения”, Оптимальное управление, Сборник статей. К 105-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 291, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 30-44.А.В. Арутюнов, “Условие Каристи и существование минимума ограниченной снизу функции в метрическом пространстве. Приложения к теории точек совпадения”, Оптимальное управление, Сборник статей. К 105-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 291, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 30-44.J. Caristi, “Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions”, Trans. Amer. Math. Soc., 215 (1976), 241-251.J. Caristi, “Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions”, Trans. Amer. Math. Soc., 215 (1976), 241-251.З.Т. Жуковская, С. Е. Жуковский, “Об обобщениях и приложениях вариационных принципов нелинейного анализа”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:123 (2018), 377-385.З.Т. Жуковская, С. Е. Жуковский, “Об обобщениях и приложениях вариационных принципов нелинейного анализа”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 23:123 (2018), 377-385.A.V. Arutyunov, B.D. Gel'man, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Caristi-like condition. Existence of solutions to equations and minima of functions in metric spaces”, Fixed Point Theory, 20:1 (2019), 31-58.A.V. Arutyunov, B.D. Gel'man, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Caristi-like condition. Existence of solutions to equations and minima of functions in metric spaces”, Fixed Point Theory, 20:1 (2019), 31-58.A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Caristi-like condition and the existence of minima of mappings in partially ordered spaces”, Journal of Optimization Theory and Applications, 180:1 (2019), 48-61.A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Caristi-like condition and the existence of minima of mappings in partially ordered spaces”, Journal of Optimization Theory and Applications, 180:1 (2019), 48-61.Ф. Кларк, Оптимизация и негладкий анализ, Наука, М., 1988, 280 с.Ф. Кларк, Оптимизация и негладкий анализ, Наука, М., 1988, 280 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.