В статье изучаются существование и устойчивость стационарных периодических решений модели нейронного поля, а именно интегрально-дифференциального уравнения типа Гаммерштейна. Полагая, что функция активации - ступенчатая функция, а ядро оператора - быстроубывающая функция, мы формулируем необходимые и достаточные условия существования особого класса решений - 1-бамповые (выпуклые) периодические решения. Далее мы изучаем устойчивость этих решений с помощью спектра производной Фреше соответствующего оператора Гаммерштейна. Мы доказываем, что этот спектр согласуется с точностью до нуля со спектром блочного оператора Лорана. Также показываем, что ненулевой спектр состоит только из собственных значений, и получаем аналитические выражения, как для собственных значений, так и для собственных функций. Кроме того в статье рассмотрены примеры.
We study the existence and linear stability of stationary periodic solutions to a neural field model, an intergo-differential equation of the Hammerstein type. Under the assumption that the activation function is a discontinuous step function and the kernel is decaying sufficiently fast, we formulate necessary and sufficient conditions for the existence of a special class of solutions that we call 1-bump periodic solutions. We then analyze the stability of these solutions by studying the spectrum of the Frechet derivative of the corresponding Hammerstein operator. We prove that the spectrum of this operator agrees up to zero with the spectrum of a block Laurent operator. We show that the non-zero spectrum consists of only eigenvalues and obtain an analytical expression for the eigenvalues and the eigenfunctions. The results are illustrated by multiple examples.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.