В основе квантования по Березину на многообразии M лежит сопоставление, которое оператору A из некоторого класса соотносит пару функций F и F ♮ , определенных на M . Эти функции называются ковариантным и контравариатным символами оператора A . Мы интересуемся однородным пространством M=G/H и классами операторов, связанными с теорией представлений. Самая алгебраическая версия квантования - мы называем ее полиномиальным квантованием - получается, когда операторы принадлежат алгебре операторов, отвечающих в данном представлении T группы G элементам X универсальной обертывающей алгебры Env g алгебры Ли g группы G . В этом случае символы оказываются многочленами на алгебре Ли g . В настоящей статье мы предлагаем новую тему в квантовании Березина на G/H : в качестве исходного класса операторов мы берем операторы, отвечающие элементам самой группы G в представлении T этой группы. В статье мы рассматриваем два примера, в них однородные пространства - это параэрмитовы пространства ранга 1 и 2: a) G=SL(2;R) , H - подгруппа диагональных матриц, G/H - однополостный гиперболоид в R 3 ; b) G - псевдоортогональная группа SO0 (p; q) , подгруппа H накрывает с конечной кратностью группу SO0 (p-1, q -1)× SO0 (1;1) ; пространство G/H (псевдо-грассманово многообразие) есть орбита в алгебре Ли g группы G .
The basic notion of the Berezin quantization on a manifold M is a correspondence which to an operator A from a class assigns the pair of functions F and F ♮ defined on M . These functions are called covariant and contravariant symbols of A. We are interested in homogeneous space M=G/H and classes of operators related to the representation theory. The most algebraic version of quantization - we call it the polynomial quantization - is obtained when operators belong to the algebra of operators corresponding in a representation T of G to elements X of the universal enveloping algebra Env g of the Lie algebra g of G . In this case symbols turn out to be polynomials on the Lie algebra g . In this paper we offer a new theme in the Berezin quantization on G/H : as an initial class of operators we take operators corresponding to elements of the group G itself in a representation T of this group. In the paper we consider two examples, here homogeneous spaces are para-Hermitian spaces of rank 1 and 2: a) G= SL (2;R) , H - the subgroup of diagonal matrices, G/H - a hyperboloid of one sheet in R3 ; b) G - the pseudoorthogonal group SO0 (p ; q ) , the subgroup H covers with finite multiplicity the group SO0 (p -1, q -1)× SO0 (1;1) ; the space G/H (a pseudo-Grassmann manifold) is an orbit in the Lie algebra g of the group G .
The authors declare that there are no conflicts of interest present.