mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2021-26-135-305-314mathematics-195Research ArticleСТАТЬИARTICLESСуперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях КаратеодориSuperpositional measurability of a multivalued function under generalized Caratheodory conditionsСероваИрина ДмитриевнаSerovaIrina D.irinka_36@mail.ruФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»; ФГАОУ ВО «Тюменкий государственный университет»РоссияDerzhavin Tambov State University; University of TyumenRussian Federation20211210202126135305314Copyright © Серова И.Д., 20212021Серова И.Д.Serova I.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/195

Для многозначного отображения F:[a; b] × R m → comp( R m ) рассматривается задача о суперпозиционной измеримости и суперпозиционной селектируемости. Как известно, для суперпозиционной измеримости достаточно, чтобы отображение F удовлетворяло условиям Каратеодори, для суперпозиционной селектируемости - чтобы F(·, x) обладало измеримым сечением, а F(t, ·) было полунепрерывным сверху. В работе предлагаются обобщения этих условий, основанные на замене в определении свойств непрерывности и полунепрерывности предела последовательности координат точек образов многозначных отображений на односторонний предел. В работе показано, что при таких ослабленных условиях многозначное отображение F обладает требуемыми свойствами суперпозиционной измеримости / суперпозиционной селектируемости. Приведены иллюстративные примеры, а также примеры существенности предлагаемых условий. Для однозначных отображений предлагаемые условия совпадают с обобщенными условиями Каратеодори, предложенными И. В. Шрагиным (см. [Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 2014, 19:2, 476-478]).

For a multivalued mapping F :[a ; b ] × Rm → comp ( Rm ) , the problem of superpositional measurability and superpositional selectivity is considered. As it is known, for superpositional measurability it is sufficient that the mapping F satisfies the Caratheodory conditions, for superpositional selectivity it is sufficient that F(·, x) has a measurable section and F(t; ·) is upper semicontinuous. In this paper, we propose generalizations of these conditions based on the replacement, in the definitions of continuity and semicontinuity, of the limit of the sequence of coordinates of points in the images of multivalued mappings to a one-sided limit. It is shown that under such weakened conditions the multivalued mapping F possesses the required properties of superpositional measurability / superpositional selectivity. Illustrative examples are given, as well as examples of the significance of the proposed conditions. For single-valued mappings, the proposed conditions coincide with the generalized Caratheodory conditions proposed by I.V. Shragin (see [Bulletin of the Tambov University. Series: natural and technical sciences, 2014, 19:2, 476-478]).

условие Каратеодоримногозначный оператор Немыцкогосуперпозиционная измеримостьсуперпозиционная селектируемостьthe Caratheodory conditionthe Nemytsky multivalued operatorsuperpositional measurabilitysuperpositional selectivityReferencesА.Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Наука, М., 1985.А.Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Наука, М., 1985.Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977.Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977.А.И. Булгаков, Л.Н. Ляпин, “О связности множеств решений функциональных включений”, Математический сборник, 119(161):2(10) (1982), 295-300.А.И. Булгаков, Л.Н. Ляпин, “О связности множеств решений функциональных включений”, Математический сборник, 119(161):2(10) (1982), 295-300.А.И. Булгаков, “Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью”, Дифференциальные уравнения, 26:11 (1990), 1872-1878.А.И. Булгаков, “Функционально-дифференциальные включения с невыпуклой правой частью”, Дифференциальные уравнения, 26:11 (1990), 1872-1878.А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров, Теория экстремальных задач, Наука, М., 1974.А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров, Теория экстремальных задач, Наука, М., 1974.А.В. Арутюнов, Лекции по выпуклому и многозначному анализу, ФИЗМАТЛИТ, М., 2014.А.В. Арутюнов, Лекции по выпуклому и многозначному анализу, ФИЗМАТЛИТ, М., 2014.Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, ЛИБРОКОМ, М., 2011.Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, ЛИБРОКОМ, М., 2011.А.И. Булгаков, А.А. Григоренко, Е.А. Панасенко, “Возмущение вольтерровых включений импульсными операторами”, Изв. ИМИ УдГУ, 1:39 (2012), 17-20.А.И. Булгаков, А.А. Григоренко, Е.А. Панасенко, “Возмущение вольтерровых включений импульсными операторами”, Изв. ИМИ УдГУ, 1:39 (2012), 17-20.Е.О. Бурлаков, Е.С. Жуковский, “О корректности обобщенных уравнений нейрополей с импульсным управлением”, Известия высших учебных заведений. Математика, 2016, №5, 75-79.Е.О. Бурлаков, Е.С. Жуковский, “О корректности обобщенных уравнений нейрополей с импульсным управлением”, Известия высших учебных заведений. Математика, 2016, №5, 75-79.A. Ponosov, E. Zhukovskii, “Generalized functional differential equations: existence and uniqueness of solutions”, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2016, №112, 1-19.A. Ponosov, E. Zhukovskii, “Generalized functional differential equations: existence and uniqueness of solutions”, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2016, №112, 1-19.Е.С. Жуковский, О.В. Скопинцева, “О корректности дифференциального уравнения, испытывающего импульсные воздействия на заданной линии”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 17:1 (2012), 45-48.Е.С. Жуковский, О.В. Скопинцева, “О корректности дифференциального уравнения, испытывающего импульсные воздействия на заданной линии”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 17:1 (2012), 45-48.И.В. Шрагин, “Суперпозиционная измеримость при обобщенных условиях Каратеодори”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 19:2 (2014), 476-478.И.В. Шрагин, “Суперпозиционная измеримость при обобщенных условиях Каратеодори”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 19:2 (2014), 476-478.И.В. Шрагин, “О некоторых s -алгебрах, связанных с измеримостью суперпозиций”, Математические заметки, 80:6 (2006), 926-933.И.В. Шрагин, “О некоторых s -алгебрах, связанных с измеримостью суперпозиций”, Математические заметки, 80:6 (2006), 926-933.Е.С. Жуковский, “Об упорядоченно накрывающих отображениях и интегральных неравенствах типа Чаплыгина”, Алгебра и анализ, 30:1 (2018), 96-127.Е.С. Жуковский, “Об упорядоченно накрывающих отображениях и интегральных неравенствах типа Чаплыгина”, Алгебра и анализ, 30:1 (2018), 96-127.Е.С. Жуковский, “Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах”, Дифференциальные уравнения, 52:12 (2016), 1610-1627.Е.С. Жуковский, “Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах”, Дифференциальные уравнения, 52:12 (2016), 1610-1627.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.