mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2021-26-136-348-362mathematics-198Research ArticleНАУЧНЫЕ СТАТЬИORIGINAL ARTICLESО задаче Коши для неявных дифференциальных уравнений высших порядковOn the Cauchy problem for implicit differential equations of higher ordershttps://orcid.org/0000-0001-7326-7492АрутюновАрам ВладимировичArutyunovAram V.arutyunov@cs.msu.ruhttps://orcid.org/0000-0002-2008-3275ПлужниковаЕлена АлександровнаPluzhnikovaElena A.pluznikova_elena@mail.ruФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов»РоссияPeoples’ Friendship University of Russia (RUDN University)Russian FederationФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»РоссияDerzhavin Tambov State UniversityRussian Federation20212112202126136348362Copyright © Арутюнов А.В., Плужникова Е.А., 20212021Арутюнов А.В., Плужникова Е.А.Arutyunov A.V., Pluzhnikova E.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/198

Статья посвящена исследованию неявных дифференциальных уравнений на основе утверждений о накрывающих отображениях произведений метрических пространств. Сначала рассмотрена система уравнений\begin{equation*}\Phi_i(x_i,x_1,x_2,\ldots,x_n)=y_i, \ \ \ i=\overline{1,n},\end{equation*}где $\Phi_i: X_i \times X_1 \times \ldots \times X_n \to Y_i,$ $y_i \in Y_i,$ $X_i$ и $Y_i$ --- метрические пространства, $i=\overline{1,n}.$ Предполагается, что отображение $\Phi_i$является накрывающим по первому аргументу и липшицевым по каждому из остальных аргументов начиная со второго. Получены условия разрешимости этой системы и оценки расстояния от произвольного заданного элемента $x_0 \in X$ до множества решений. Далее в статье получено утверждение о действии оператора Немыцкого в пространствах суммируемых функций и установлена взаимосвязь свойств накрывания оператора Немыцкого и накрывания порождающей его функции. Перечисленные результаты применены к исследованию системы неявных дифференциальных уравнений, для которой доказано утверждение о локальной разрешимости задачи Коши с ограничениями на производную решения. Такие задачи возникают, в частности, в моделях управляемых систем. В заключительной части статьи аналогичными методами исследовано дифференциальное уравнение $n$-го порядка, не разрешенное относительно старшей производной. Получены условия существования решения задачи Коши.

The article is devoted to the study of implicit differential equations based on statements about covering mappings of products of metric spaces. First, we consider the system of equations\begin{equation*}\Phi_i(x_i,x_1,x_2,\ldots,x_n)=y_i, \ \ \ i=\overline{1,n},\end{equation*}where $\Phi_i: X_i \times X_1 \times \ldots \times X_n \to Y_i,$ $y_i \in Y_i,$ $X_i$ and $Y_i$ are metric spaces, $i=\overline{1,n}.$ It is assumed that the mapping $\Phi_i$is covering in the first argument and Lipschitz in each of the other arguments starting from the second one. Conditions for the solvability of this system and estimates for the distance from an arbitrary given element $x_0 \in X$ to the set of solutions are obtained. Next, we obtain an assertion about the action of the Nemytskii operator in spaces of summable functions and establish the relationship between the covering properties of the Nemytskii operator and the covering of the function that generates it. The listed results are applied to the study of a system of implicit differential equations, for which a statement about the local solvability of the Cauchy problem with constraints on the derivative of a solution is proved. Such problems arise, in particular, in models of controlled systems. In the final part of the article, a differential equation of the $n$-th order not resolved with respect to the highest derivative is studied by similar methods. Conditions for the existence of a solution to the Cauchy problem are obtained.

неявные дифференциальные уравнениядифференциальные уравнения высших порядковзадача Кошинакрывающее отображениеметрическое пространствооператор Немыцкогофункциональное пространствоimplicit differential equationsdifferential equations of higher ordersthe Cauchy problemcovering mapmetric spacethe Nemytsky operatorfunctional spaceРабота выполнена при поддержке РНФ (проект № 20-11-20131).The work is partially supported by the Russian Science Foundation (project no. 20-11-20131).ReferencesЕ.Р. Аваков, А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, “Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613–634.Е.Р. Аваков, А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, “Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613–634.А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523–1537.А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523–1537.A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 75:3 (2012), 1026–1044.A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy, “Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 75:3 (2012), 1026–1044.В. Мерчела, “Об устойчивости решений интегральных уравнений в классе измеримых функций”, Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 44–54.В. Мерчела, “Об устойчивости решений интегральных уравнений в классе измеримых функций”, Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 44–54.Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 49:4 (2013), 439–455.Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 49:4 (2013), 439–455.Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Теорема о накрывании оператора в произведении метрических пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 16:1 (2011), 70–72.Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Теорема о накрывании оператора в произведении метрических пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 16:1 (2011), 70–72.Е.С. Жуковский, “О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств”, Математические заметки, 100:3 (2016), 344–362.Е.С. Жуковский, “О точках совпадения многозначных векторных отображений метрических пространств”, Математические заметки, 100:3 (2016), 344–362.Е.С. Жуковский, “О точках совпадения векторных отображений”, Известия вузов. Математика, 2016, №10, 14–28.Е.С. Жуковский, “О точках совпадения векторных отображений”, Известия вузов. Математика, 2016, №10, 14–28.Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский, “Об итерационных методах решения уравнений с накрывающими отображениями”, Сибирский журнал вычислительной математики, 19:4 (2016), 357–369.Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский, “Об итерационных методах решения уравнений с накрывающими отображениями”, Сибирский журнал вычислительной математики, 19:4 (2016), 357–369.Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями”, Автоматика и телемеханика, 2015, №1, 31–56.Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями”, Автоматика и телемеханика, 2015, №1, 31–56.А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О мощности множества точек совпадения отображений метрических, нормированных и частично упорядоченных пространств”, Математический сборник, 209:8 (2018), 3–28.А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О мощности множества точек совпадения отображений метрических, нормированных и частично упорядоченных пространств”, Математический сборник, 209:8 (2018), 3–28.А.В. Арутюнов, “Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки”, Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151–155.А.В. Арутюнов, “Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки”, Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151–155.А.В. Арутюнов, “Точки совпадения двух отображений”, Функциональный анализ и его приложения, 48:1 (2014), 89–93.А.В. Арутюнов, “Точки совпадения двух отображений”, Функциональный анализ и его приложения, 48:1 (2014), 89–93.B.S. Mordukhovich, B. Wang, “Restrictive metric regularity and generalized differential calculus in Banach spaces”, Mathematics and Mathematical Sciences, 2004, №50, 2650–2683.B.S. Mordukhovich, B. Wang, “Restrictive metric regularity and generalized differential calculus in Banach spaces”, Mathematics and Mathematical Sciences, 2004, №50, 2650–2683.А.Д. Иоффе, “Метрическая регулярность и субдифференциальное исчисление”, Успехи математических наук, 55:3 (333) (2000), 103–162.А.Д. Иоффе, “Метрическая регулярность и субдифференциальное исчисление”, Успехи математических наук, 55:3 (333) (2000), 103–162.М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский, Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, Наука, М., 1966.М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский, Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, Наука, М., 1966.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.