В работе исследуется интегро-дифференциальное уравнение с интегральным оператором типа Гаммерштейна следующего вида:\begin{equation*}\begin{array}{c}\partial_tu(t,x)=-\tau u(t,x,x_\mathrm{f})+\int\limits_{\mathbb{R}^2}\omega(x-y)f(u(t,y)) dy, \\ t\geq0,\ x\in \mathbb{R}^2.\end{array}\end{equation*}Данное уравнение формализует динамику распределения электрических потенциалов $u(t,x)$ в плоской нейронной среде и носит название уравнения нейронного поля. Изучаются решения типа "кольцо", представляющие собой стационарные радиально симметричные решения, отвечающие состоянию активности нейронной среды в некоторой области, ограниченной двумя концентрическими окружностями, и состоянию покоя нейронного поля за пределами данной области. В работе предлагаются условия существования решений-колец, а также метод их приближенного численного нахождения. Используемые подходы основываются на замене в уравнении нейронного поля вероятностной функции $f$ активации нейронов, имеющей сигмоидальную форму, функцией типа Хевисайда. Теоретическая часть работы сопровождается примером, иллюстрирующим процедуру исследования решений типа "кольцо" уравнения нейронного поля, содержащего типично используемую в математической нейробиологии функцию межнейронной связи, позволяющую учитывать как возбуждающие, так и тормозящие взаимодействия нейронов. Подобно случаю решений-бампов (стационарных решений уравнения нейронного поля, отвечающих активации области нейронного поля, представляющей собой внутренность некоторой окружности), при высоких значениях порога активации нейронов имеет место одновременное существование двух решений - так называемых "широкого кольца" и "узкого кольца", сливающихся вместе при критическом значении порога активации нейронов, при превышении которого решений-колец не существует.
The article is devoted to investigation of integro-differential equation with the Hammerstein integral operator of the following form:\begin{equation*}\begin{array}{c}\partial_tu(t,x)=-\tau u(t,x,x_\mathrm{f})+\int\limits_{\mathbb{R}^2}\omega(x-y)f(u(t,y)) dy, \\ t\geq0,\ x\in \mathbb{R}^2.\end{array}\end{equation*}The equation describes the dynamics of electrical potentials $u(t,x)$ in a planar neural medium and has the name of neural field equation. We study ring solutions that are represented by stationary radially symmetric solutions corresponding to the active state of the neural medium in between two concentric circles and the rest state elsewhere in the neural field. We suggest conditions of existence of ring solutions as well as a method of their numerical approximation. The approach used relies on the replacement of the probabilistic neuronal activation function $f$ that has sigmoidal shape by a Heaviside-type function. The theory is accompanied by an example illustrating the procedure of investigation of ring solutions of a neural field equation containing a typically used in the neuroscience community neuronal connectivity function that allows taking into account both excitatory and inhibitory interneuronal interactions. Similar to the case of bump solutions (i. e. stationary solutions of neural field equations, which correspond to the activated area in the neural field represented by the interior of some circle) at a high values of the neuronal activation threshold there coexist a broad ring and a narrow ring solutions that merge together at the critical value of the activation threshold, above which there are no ring solutions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.