mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2021-26-136-372-381mathematics-200Research ArticleНАУЧНЫЕ СТАТЬИORIGINAL ARTICLESО проблеме существования неподвижной точки обобщенно сжимающего многозначного отображенияOn the existence problem for a fixed point of a generalized contracting multivalued mappinghttps://orcid.org/0000-0003-4460-7608ЖуковскийЕвгений СеменовичZhukovskiyEvgeny S.zukovskys@mail.ruФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»; ФГБУН «Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова» Российской академии наукРоссияDerzhavin Tambov State University; V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RASRussian Federation20212112202126136372381Copyright © Жуковский Е.С., 20212021Жуковский Е.С.Zhukovskiy E.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/200

Обсуждается остающийся до сих пор не решенным поставленный в [S. Reich, Some Fixed Point Problems, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 57:8 (1974), 194--198] вопрос о существовании в полном метрическом пространстве $X$ неподвижной точки обобщенно сжимающего многозначного отображения $\Phi:X \rightrightarrows X,$ имеющего замкнутые значения $\Phi(x)\subset X$ при всех $x \in X.$ Обобщенное сжатие понимается как естественное распространение определения Браудера--Красносельского этого свойства на многозначные отображения: \begin{equation*} \label{Sha}\forall x,u \in X \ \ h\bigl(\varphi(x),\varphi(u)\bigr) \leq \eta\bigl(\rho(x,u)\bigr), \end{equation*} где функция $\eta: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ $ возрастает, непрерывна справа и для всех $d > 0$ выполнено $\eta(d)<d$ (символом $h(\cdot,\cdot)$ обозначено расстояние по Хаусдорфу между множествами в пространстве $X\!$). Приводится описание полученных в литературе утверждений, решающих проблему С.~Райха при дополнительных требованиях на обобщенное сжатие $\Phi.$ В~простейшем случае, когда многозначное обобщенно сжимающее отображение $\Phi$ действует в $\mathbb{R},$ без каких-либо дополнительных условий доказано существование у этого отображения неподвижной точки.

We discuss the still unresolved question, posed in [S.~Reich, Some Fixed Point Problems, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 57:8 (1974), 194--198], of existence in a complete metric space $X$ of a fixed point for a generalized contracting multivalued map $\Phi: X \rightrightarrows X $ having closed values $ \Phi (x) \subset X$ for all $ x \in X. $ Generalized contraction is understood as a natural extension of the Browder--Krasnoselsky definition of this property to multivalued maps: \begin{equation*}\forall x, u \in X \ \ h \bigl(\varphi(x), \varphi(u) \bigr) \leq \eta \bigl(\rho(x, u) \bigr), \end{equation*} where the function $ \eta: \mathbb {R}_+\to\mathbb{R}_+$ is increasing, right continuous, and for all $d>0,$\linebreak $\eta(d)<d$ ($h(\cdot, \cdot)$ denotes the Hausdorff distance between sets in the space $X\!$). We give an outline of the statements obtained in the literature that solve the S.~Reich problem with additional requirements on the generalized contraction $\Phi.$ In the simplest case, when the multivalued generalized contraction map $\Phi$ acts in $\mathbb{R},$ without any additional conditions, we prove the existence of a fixed point for this map.

неподвижная точкаобобщенное сжатиемногозначное отображение в метрическом пространстветеорема Браудера–Красносельского о неподвижной точкеfixed pointgeneralized contractionmultivalued map in metric spacethe Browder–Krasnoselsky fixed point theoremРабота выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 20-04-60524_вирусы). Результаты § 2 получены автором в Институте проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН при поддержке Российского научного фонда (проект № 20-11-20131).The research is supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-04-60524). The results § 2 were obtained by the author at the V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RAS with the support of Russian Science Foundation (project no. 20-11-20131).ReferencesS. Banach, “Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales”, Fund. Math., 3 (1922), 133–181.S. Banach, “Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations integrales”, Fund. Math., 3 (1922), 133–181.С. Кобзаш, “Неподвижные точки и полнота в метрических и обобщённых метрических пространствах”, Фундаментальная и прикладная математика, 22:1 (2018), 127–215.С. Кобзаш, “Неподвижные точки и полнота в метрических и обобщённых метрических пространствах”, Фундаментальная и прикладная математика, 22:1 (2018), 127–215.S.B. Nadler, “Multi-valued contraction mappings”, Pacific Journal of Mathematics, 30:2 (1969), 475–488.S.B. Nadler, “Multi-valued contraction mappings”, Pacific Journal of Mathematics, 30:2 (1969), 475–488.А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О мощности множества точек совпадения отображений метрических, нормированных и частично упорядоченных пространств”, Матем. сб., 209:8 (2018), 3–28.А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О мощности множества точек совпадения отображений метрических, нормированных и частично упорядоченных пространств”, Матем. сб., 209:8 (2018), 3–28.Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальних включений, 2-е изд., Либроком, М., 2011.Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальних включений, 2-е изд., Либроком, М., 2011.A. Granas, J. Dugundji, Fixed Point Theory, Monograph, Springer–Verlag, New York, 2003.A. Granas, J. Dugundji, Fixed Point Theory, Monograph, Springer–Verlag, New York, 2003.А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “(q_1,q_2) -квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 3–32.А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “(q_1,q_2) -квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 3–32.И.А. Бахтин, “Принцип сжатых отображений в почти метрических пространствах”, Функциональный анализ, 30 (1989), 26–37.И.А. Бахтин, “Принцип сжатых отображений в почти метрических пространствах”, Функциональный анализ, 30 (1989), 26–37.D. Panthi, K. Jha, G. Porru, “A fixed point theorem in dislocated quasi-metric space”, American Journal of Mathematics and Statistics, 3:3 (2013), 153–156.D. Panthi, K. Jha, G. Porru, “A fixed point theorem in dislocated quasi-metric space”, American Journal of Mathematics and Statistics, 3:3 (2013), 153–156.Т.В. Жуковская, В. Мерчела, А.И. Шиндяпин, “О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика, 25:129 (2020), 18–24.Т.В. Жуковская, В. Мерчела, А.И. Шиндяпин, “О точках совпадения отображений в обобщенных метрических пространствах”, Вестник российских университетов. Математика, 25:129 (2020), 18–24.Е.С. Жуковский, Е.А. Панасенко, “О неподвижных точках многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой”, Выпуск посвящен 70-летнему юбилею Александра Георгиевича Ченцова, Тр. ИММ УрО РАН, 24, 2018, 93–105.Е.С. Жуковский, Е.А. Панасенко, “О неподвижных точках многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой”, Выпуск посвящен 70-летнему юбилею Александра Георгиевича Ченцова, Тр. ИММ УрО РАН, 24, 2018, 93–105.F.E. Browder, “On the convergence of successive approximations for nonlinear functional equations”, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., 71 (1968), 27–35.F.E. Browder, “On the convergence of successive approximations for nonlinear functional equations”, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., 71 (1968), 27–35.М.А. Красносельский, Г.М. Вайнико, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко, Приближенное решение операторных уравнений, Наука, М., 1969.М.А. Красносельский, Г.М. Вайнико, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко, Приближенное решение операторных уравнений, Наука, М., 1969.J. Jachymski, “Around Browder’s fixed point theorem for contractions”, J. Fixed Point Theory Appl., 5:1 (2009), 47–61.J. Jachymski, “Around Browder’s fixed point theorem for contractions”, J. Fixed Point Theory Appl., 5:1 (2009), 47–61.D.W. Boyd, J.S.W. Wong, “On nonlinear contractions”, Proceedings of the American Mathematical Society, 89 (1968), 458–464.D.W. Boyd, J.S.W. Wong, “On nonlinear contractions”, Proceedings of the American Mathematical Society, 89 (1968), 458–464.Е.С. Жуковский, “Замечание к теоремам об обобщенном сжатии”, Матем. заметки, 111:2, (в печати) (2022), 211–218.Е.С. Жуковский, “Замечание к теоремам об обобщенном сжатии”, Матем. заметки, 111:2, (в печати) (2022), 211–218.А.И. Перов, “Многомерная версия принципа обобщенного сжатия М. А. Красносельского”, Функциональный анализ и его приложения, 44:1 (2010), 83–87.А.И. Перов, “Многомерная версия принципа обобщенного сжатия М. А. Красносельского”, Функциональный анализ и его приложения, 44:1 (2010), 83–87.Е.С. Жуковский, “Неподвижные точки сжимающих отображений f -квазиметрических пространств”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1338–1350.Е.С. Жуковский, “Неподвижные точки сжимающих отображений f -квазиметрических пространств”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1338–1350.Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский, “Об одном квазиметрическом пространстве”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 22:6 (2017), 1285–1292.Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский, “Об одном квазиметрическом пространстве”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 22:6 (2017), 1285–1292.S. Reich, “Fixed points of contractive functions”, Italian Mathematical Union. Bulletin, 5:4 (1972), 26–42.S. Reich, “Fixed points of contractive functions”, Italian Mathematical Union. Bulletin, 5:4 (1972), 26–42.S. Reich, “Some fixed point problems”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 57:8 (1974), 194–198.S. Reich, “Some fixed point problems”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 57:8 (1974), 194–198.S. Reich, “Some problems and results in fixed point theory”, Contemporary Mathematics AMS, 21 (1983), 179–187.S. Reich, “Some problems and results in fixed point theory”, Contemporary Mathematics AMS, 21 (1983), 179–187.П.В. Семенов, “О неподвижных точках многозначных сжатий”, Функц. анализ и его прил., 36:2 (2002), 89–92.П.В. Семенов, “О неподвижных точках многозначных сжатий”, Функц. анализ и его прил., 36:2 (2002), 89–92.P.Z. Daffer, H. Kaneko, W. Li, “On a conjecture of S. Reich”, Proceedings of the American Mathematical Society, 124:10 (1996), 3159–3162.P.Z. Daffer, H. Kaneko, W. Li, “On a conjecture of S. Reich”, Proceedings of the American Mathematical Society, 124:10 (1996), 3159–3162.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.