mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2021-26-136-404-413mathematics-203Research ArticleНАУЧНЫЕ СТАТЬИORIGINAL ARTICLESОдин метод исследования разрешимости краевых задач для неявного дифференциального уравненияOne method for investigating the solvability of boundary value problems for an implicit differential equationhttps://orcid.org/0000-0002-3702-0932МерчелаВассимMerchelaWassimmerchela.wassim@gmail.comФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»; ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный университет»РоссияDerzhavin Tambov State University; St. Petersburg UniversityRussian Federation20212112202126136404413Copyright © Мерчела В., 20212021Мерчела В.Merchela W.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/203

В статье рассматривается краевая задача с линейными краевыми условиями общего видадля скалярного дифференциального уравнения\begin{equation*}f\big(t,x(t),\dot{x}(t)\big)=\widehat{y}(t),%\ \ t\in [0,\tau], \end{equation*} не разрешенного относительно производной $\dot{x}$ искомой функции. Предполагается, что функция $f$ удовлетворяет условиям Каратеодори, функция $\widehat{y}$ является измеримой. Предлагаемый метод исследования такой краевой задачи основан на результатах об операторном уравнении с отображением, действующим из метрического пространства в множество с расстоянием (это расстояние удовлетворяет только одной аксиоме метрики: оно равно нулю тогда и только тогда, когда элементы совпадают). В терминах множества накрывания функции $f(t,x_1,\cdot):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ и множества липшицевости функции $f(t,\cdot,x_2):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ получены условия существования решений и условия устойчивости решений к возмущению функции $f,$ порождающей дифференциальное уравнение, а также к возмущениям правых частей краевой задачи: функции $\widehat{y}$ и значения краевого условия.

The article concernes a boundary value problem with linear boundary conditions of general form for the scalar differential equation\begin{equation*}f \big(t, x (t), \dot{x} (t) \big)= \widehat{y}(t),% \ \ t \ in [0, \ tau], \end{equation*} not resolved with respect to the derivative $\dot{x}$ of the required function. It is assumed that the function $f$ satisfies the Caratheodory conditions, and the function $\widehat{y}$ is measurable. The method proposed for studying such a boundary value problem is based on the results about operator equation with a mapping acting from a metric space to a set with distance (this distance satisfies only one axiom of a metric: it is equal to zero if and only if the elements coincide). In terms of the covering set of the function $f(t, x_1, \cdot): \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ and the Lipschitz set of the function $f (t,\cdot,x_2): \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, conditions for the existence of solutions and their stability to perturbations of the function $f$ generating the differential equation, as well as to perturbations of the right-hand sides of the boundary value problem: the function $ \widehat{y} $ and the value of the boundary condition, are obtained.

неявное дифференциальное уравнениелинейные краевые условиясуществование решений краевой задачинакрывающее отображение метрических пространствimplicit differential equationlinear boundary conditionsexistence of solutions to a boundary value problemcovering mapping of metric spacesРабота выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075–15–2019–1619.The work is supported by Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, agreement № 075–15–2019–1619.ReferencesЕ.С. Жуковский, В. Мерчела, “О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений”, Уфимский математический журнал, 12:4 (2020), 42–55.Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений”, Уфимский математический журнал, 12:4 (2020), 42–55.С. Бенараб, Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 52–63.С. Бенараб, Е.С. Жуковский, В. Мерчела, “Теоремы о возмущениях накрывающих отображений в пространствах с расстоянием и в пространствах с бинарным отношением”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 52–63.В. Мерчела, “Об устойчивости решений интегральных уравнений в классе измеримых функций”, Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 44–54.В. Мерчела, “Об устойчивости решений интегральных уравнений в классе измеримых функций”, Вестник российских университетов. Математика, 26:133 (2021), 44–54.Е.Р. Аваков, А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, “Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613–634.Е.Р. Аваков, А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, “Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 45:5 (2009), 613–634.А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523–1537.А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский, “О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 47:11 (2011), 1523–1537.Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 49:4 (2013), 439–455.Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной”, Дифференциальные уравнения, 49:4 (2013), 439–455.Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Теорема о накрывании оператора в произведении метрических пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 16:1 (2011), 70–72.Е.С. Жуковский, Е.А. Плужникова, “Теорема о накрывании оператора в произведении метрических пространств”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 16:1 (2011), 70–72.Д.Ю. Бураго, Ю.Д. Бураго, С.В. Иванов, Курс метрической геометрии, Институт компьютерных иссследований, Москва–Ижевск, 2004.Д.Ю. Бураго, Ю.Д. Бураго, С.В. Иванов, Курс метрической геометрии, Институт компьютерных иссследований, Москва–Ижевск, 2004.А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “(q_1; q_2) -квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 3–32.А.В. Арутюнов, А.В. Грешнов, “(q_1; q_2) -квазиметрические пространства. Накрывающие отображения и точки совпадения”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 3–32.Е.С. Жуковский, “Неподвижные точки сжимающих отображений f –квазиметрических пространств”, Сибирский математический журнал, 59:6 (2018), 1338–1350.Е.С. Жуковский, “Неподвижные точки сжимающих отображений f –квазиметрических пространств”, Сибирский математический журнал, 59:6 (2018), 1338–1350.А.В. Арутюнов, “Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки”, Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151–155.А.В. Арутюнов, “Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки”, Доклады Академии наук, 416:2 (2007), 151–155.И.В. Шрагин, “Суперпозиционная измеримость при обобщенных условиях Каратеодори”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 19:2 (2014), 476–478.И.В. Шрагин, “Суперпозиционная измеримость при обобщенных условиях Каратеодори”, Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки, 19:2 (2014), 476–478.И.Д. Серова, “Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях Каратеодори”, Вестник российских университетов. Математика, 26:135 (2021), 305–314.И.Д. Серова, “Суперпозиционная измеримость многозначной функции при обобщенных условиях Каратеодори”, Вестник российских университетов. Математика, 26:135 (2021), 305–314.Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина, Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений, Наука, М., 1991.Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина, Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений, Наука, М., 1991.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.