mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2023-28-143-227-235mathematics-21Research ArticleНАУЧНЫЕ СТАТЬИORIGINAL ARTICLESО существовании допустимых процессов для управляемых систем со смешанными ограничениямиOn the existence of admissible processes for control systems with mixed constraintshttps://orcid.org/0009-0005-7439-0405БорзовНикита СергеевичBorzovNikita S.borzov-nikita@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0002-4595-6685ЖуковскаяЗухра ТагировнаZhukovskayaZukhra T.zyxra2@yandex.ruФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина»РоссияDerzhavin Tambov State UniversityRussian FederationФГБУН «Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН»РоссияV.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences, Russian Academy of SciencesRussian Federation20231010202328143227235Copyright © Борзов Н.С., Жуковская З.Т., 20232023Борзов Н.С., Жуковская З.Т.Borzov N.S., Zhukovskaya Z.T.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/21

Рассматривается управляемая система со смешанными ограничениями типа равенств и концевыми ограничениями. Для нее в терминах обобщенного якобиана (производной Кларка) по переменной управления отображения, определяющего ограничения, получены достаточные условия существования непрерывных допустимых позиционных управлений. Доказательство соответствующей теоремы основано на сведении рассматриваемой управляемой системы к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения за счет применения нелокальной теоремы о неявной функции. Затем эта задача сводится к задаче о нахождении неподвижной точки непрерывной функции, определенной на конечномерном замкнутом шаре с последующим применением аналога теоремы Брауэра о неподвижной точке. Кроме того, исследована управляемая система со смешанными ограничениями типа неравенств и концевыми ограничениями. Для нее в терминах первых производных по переменной управления функций, определяющих ограничения, тоже получены достаточные условия существования непрерывных допустимых позиционных управлений. Доказательство соответствующей теоремы проводится за счет перехода от системы гладких ограничений типа неравенств к одному локально липшицевому ограничению типа равенства.

A control system with mixed equality-type constraints and end-point constraints is considered. In terms of the generalized Jacobian (Clarke’s derivative) with respect to the control variable of the mapping defining the constraints, sufficient conditions for the existence of continuous admissible positional controls are obtained. The proof of the corresponding theorem is based on reducing the control system to a boundary value problem for an ordinary differential equation via a nonlocal implicit function theorem. This problem is then reduced to the problem of finding a fixed point of a continuous mapping defined on a finite-dimensional closed ball and to applying an analogue of Brouwer’s fixed point theorem. In addition, a control system with mixed inequality-type constraints and end-point constraints is studied. In terms of the first derivatives with respect to the control variable of the functions that define the constraints, sufficient conditions for the existence of continuous admissible positional controls are also obtained. The proof of the corresponding theorem is carried out by passing from a system of smooth inequality-type constraints to one locally Lipschitz equality-type constraint.

управляемые системысмешанные ограниченияпозиционные управленияпроизводная Кларканеявная функцияcontrol systemsmixed constraintspositional controlsClarke’s derivativeimplicit functionReferencesF.H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, N.Y., 1983.F.H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, N.Y., 1983.A.V. Arutyunov, S.E. Zhukovskiy, “Smoothing procedure for lipschitzian equations and continuity of solutions”, Journal of Optimization Theory and Applications, 2023.A.V. Arutyunov, S.E. Zhukovskiy, “Smoothing procedure for lipschitzian equations and continuity of solutions”, Journal of Optimization Theory and Applications, 2023.А.В. Арутюнов, С.Е. Жуовский, “О нелинейных краевых задачах для дифференциальных включений”, Дифференциальные уравнения, 2023.А.В. Арутюнов, С.Е. Жуовский, “О нелинейных краевых задачах для дифференциальных включений”, Дифференциальные уравнения, 2023.J. Warga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Academic Press, N.Y., 1972.J. Warga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Academic Press, N.Y., 1972.H. Cartan, Differential Calculus, Kershaw Publ. Company, London, 1971.H. Cartan, Differential Calculus, Kershaw Publ. Company, London, 1971.A. Granas, J. Dugundji, Fixed Point Theory, Springer Verlag, New York, 2003.A. Granas, J. Dugundji, Fixed Point Theory, Springer Verlag, New York, 2003.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.