mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2020-25-130-196-244mathematics-220Research ArticleСТАТЬИARTICLESРелаксации игровой задачи сближения, связанные с альтернативой в дифференциальной игре сближения-уклоненияRelaxation of the game problem of guidance connected with alternative in guidance-evasion differential gameЧенцовАлександр ГеоргиевичChentsovAleksandr G.chentsov@imm.uran.ruФГБУН «Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского» Уральского отделения Российской академии наук; ФГАОУ ВО «Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина»РоссияN. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences; Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. YeltsinRussian Federation20201607202025130196244Copyright © Ченцов А.Г., 20202020Ченцов А.Г.Chentsov A.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/220

Рассматривается дифференциальная игра (ДИ) сближения-уклонения на конечном промежутке времени, в которой в качестве параметров используются целевое множество (ЦМ) и множество, определяющее фазовые ограничения (ФО). Игрок I; заинтересованный в осуществлении сближения с ЦМ при соблюдении ФО, использует многозначные квазистратегии (неупреждающие стратегии), а игрок II; имеющий противоположную цель, - стратегии с неупреждающим выбором моментов коррекции и конечным числом таких моментов. Постановка на содержательном уровне соответствует теореме об альтернативе Н. Н. Красовского и А. И. Субботина. Для позиций, не принадлежащих множеству позиционного поглощения, представляет интерес определение наименьшего размера окрестностей множеств-параметров, при которых игрок I гарантирует сближение при ослабленных вышеупомянутым способом условиях задачи. В работе эта схема дополняется элементами приоритетности в вопросах достижения ЦМ и соблюдения ФО, что достигается введением специального параметра, определяющего соотношение размеров соответствующих окрестностей. В этих условиях функция оптимального размера окрестности ЦМ, определенная на пространстве позиций, реали зуется посредством процедуры на основе метода программных итераций, применяемого в двух вариантах. Упомянутая функция является при этом неподвижной точкой одного из используемых «программных» операторов. Указан специальный тип функционалов качества, для которого значения вышеупомянутой функции позиции совпадают с ценой игры на минимакс-максимин.

Differential game (DG) of guidance-evasion for a finite time interval is considered; as parameters, the target set (TS) and the set defining phase constraints (PC) are used. Player I interested in realization of guidance with TS under validity PC uses set-valued quasistrategies (nonanticipating strategies) and Player II having opposite target uses strategies with nonanticipating choice of correction instants and finite numbers of such instants. On informative level, the setting corresponds to alternative theorem of N. N. Krasovskii and A. I. Subbotin. For position not belonging to solvability set of Player I, determination of the least size of neighborhoods for set-parameters under that Player I guarantees guidance (under weakened conditions) is interested. In article, this scheme is supplemented by priority elements in questions of TS attainment and PC validity; this is realized by special parameter defining relation for sizes of corresponding neighborhoods. Under these conditions, a function of the least size of TS neighborhood is defined by procedure used program iteration method for two variants. The above-mentioned function is fixed point for one of two used “program” operators. Special type of the quality functional for which values of the above-mentioned function coincide with values of the minimax-maximin games is established.

дифференциальная играквазистратегияметод программных итерацийdifferential gamequasistrategyprogram iteration methodReferencesР. Айзекс, Дифференциальные игры, Мир, М., 1967.Р. Айзекс, Дифференциальные игры, Мир, М., 1967.Н.Н. Красовский, А. И. Субботин, “Альтернатива для игровой задачи сближения”, Прикладная математика и механика, 34:6 (1970), 1005-1022.Н.Н. Красовский, А. И. Субботин, “Альтернатива для игровой задачи сближения”, Прикладная математика и механика, 34:6 (1970), 1005-1022.Н.Н. Красовский, А.И. Субботин, Позиционные дифференциальные игры, М., Наука, 1974.Н.Н. Красовский, А.И. Субботин, Позиционные дифференциальные игры, М., Наука, 1974.Н.Н. Красовский, Игровые задачи о встрече движений, Физматлит, М., 1970.Н.Н. Красовский, Игровые задачи о встрече движений, Физматлит, М., 1970.А.В. Кряжимский, “К теории позиционных дифференциальных игр сближения - уклонения”, Докл. АН СССР, 239:4 (1978), 779-782.А.В. Кряжимский, “К теории позиционных дифференциальных игр сближения - уклонения”, Докл. АН СССР, 239:4 (1978), 779-782.А.И. Субботин, Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби, Наука, М., 1991.А.И. Субботин, Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби, Наука, М., 1991.A.I. Subbotin, Generalized Solutions of First-Order PDES. The Dynamical Optimization Perspective, BirkhЁauser, Boston-Basel-Berlin, 1995.A.I. Subbotin, Generalized Solutions of First-Order PDES. The Dynamical Optimization Perspective, BirkhЁauser, Boston-Basel-Berlin, 1995.А.И. Субботин, Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации, Институт компьютерных иследований, Москва-Ижевск, 2003.А.И. Субботин, Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации, Институт компьютерных иследований, Москва-Ижевск, 2003.А.И. Субботин, “Об одном свойстве субдифференциала”, Матем. сб., 182:9 (1991), 1315-1330.А.И. Субботин, “Об одном свойстве субдифференциала”, Матем. сб., 182:9 (1991), 1315-1330.А.Г. Ченцов, “О структуре одной игровой задачи сближения”, Докл. АН СССР, 224:6 (1975), 1272-1275.А.Г. Ченцов, “О структуре одной игровой задачи сближения”, Докл. АН СССР, 224:6 (1975), 1272-1275.А.Г. Ченцов, “К игровой задаче наведения с информационной памятью”, Докл. АН СССР, 227:2 (1976), 306-308.А.Г. Ченцов, “К игровой задаче наведения с информационной памятью”, Докл. АН СССР, 227:2 (1976), 306-308.А.Г. Ченцов, “Об игровой задаче сближения в заданный момент времени”, Матем. сб., 99(141):3 (1976), 394-420.А.Г. Ченцов, “Об игровой задаче сближения в заданный момент времени”, Матем. сб., 99(141):3 (1976), 394-420.А.Г. Ченцов, “Об игровой задаче сближения к заданному моменту времени”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:2 (1978), 455-467.А.Г. Ченцов, “Об игровой задаче сближения к заданному моменту времени”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 42:2 (1978), 455-467.В.И. Ухоботов, “Построение стабильного моста для одного класса линейных игр”, Прикладная математика и механика, 41:2 (1977), 358-364.В.И. Ухоботов, “Построение стабильного моста для одного класса линейных игр”, Прикладная математика и механика, 41:2 (1977), 358-364.С.В. Чистяков, “К решению игровых задач преследования”, Прикладная математика и механика, 41:5 (1977), 825-832.С.В. Чистяков, “К решению игровых задач преследования”, Прикладная математика и механика, 41:5 (1977), 825-832.А.И. Субботин, А.Г. Ченцов, “Итерационная процедура построения минимаксных и вязкостных решений”, Доклады Академии наук, 348:6 (1996), 736-739.А.И. Субботин, А.Г. Ченцов, “Итерационная процедура построения минимаксных и вязкостных решений”, Доклады Академии наук, 348:6 (1996), 736-739.А.Г. Ченцов, Д.М. Хачай, “Релаксация дифференциальной игры сближения-уклонения и методы итераций”, Тр. ИММ УрО РАН, 24, 2018, 246-269.А.Г. Ченцов, Д.М. Хачай, “Релаксация дифференциальной игры сближения-уклонения и методы итераций”, Тр. ИММ УрО РАН, 24, 2018, 246-269.A.G. Chentsov, D.M. Khachay, “Program Iterations Method and Relaxation of a Pursuit-Evasion Differential Game”, Advanced Control Techniques in Complex Engineering Systems: Theory and Applications. V. 203: Studies in Systems, Decision and Control, 2019, 129-161.A.G. Chentsov, D.M. Khachay, “Program Iterations Method and Relaxation of a Pursuit-Evasion Differential Game”, Advanced Control Techniques in Complex Engineering Systems: Theory and Applications. V. 203: Studies in Systems, Decision and Control, 2019, 129-161.А.И. Субботин, А.Г. Ченцов, Оптимизация гарантии в задачах управления, М., Наука, 1977.А.И. Субботин, А.Г. Ченцов, Оптимизация гарантии в задачах управления, М., Наука, 1977.А.Г. Ченцов, “Метод программных итераций в игровой задаче наведения”, Тр. ИММ УрО РАН, 22, 2016, 304-321.А.Г. Ченцов, “Метод программных итераций в игровой задаче наведения”, Тр. ИММ УрО РАН, 22, 2016, 304-321.К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств, М., Мир, 1970.К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств, М., Мир, 1970.J. Warga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Academic Press, New York, 1977.J. Warga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Academic Press, New York, 1977.A.G. Chentsov, S. I. Morina, Extensions and Relaxations, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht-Boston-London, 2002.A.G. Chentsov, S. I. Morina, Extensions and Relaxations, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht-Boston-London, 2002.Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц, Линейные операторы. Общая теория, Изд-во иностр. лит., М., 1962.Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц, Линейные операторы. Общая теория, Изд-во иностр. лит., М., 1962.П. Биллингсли, Сходимость вероятностных мер, М., Наука, 1977.П. Биллингсли, Сходимость вероятностных мер, М., Наука, 1977.Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986.Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986.В.И. Богачев, Основы теории меры. Т. 2, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», М.-Ижевск, 2003.В.И. Богачев, Основы теории меры. Т. 2, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», М.-Ижевск, 2003.В.И. Богачев, Слабая сходимость мер, Институт компьютерных исследований, М.-Ижевск, 2016.В.И. Богачев, Слабая сходимость мер, Институт компьютерных исследований, М.-Ижевск, 2016.А.Г. Ченцов, “Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений”, Тр. ИММ УрО РАН, 23, 2017, 285-302.А.Г. Ченцов, “Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений”, Тр. ИММ УрО РАН, 23, 2017, 285-302.Ж. Дьедонне, Основы современного анализа, Мир, М., 1964.Ж. Дьедонне, Основы современного анализа, Мир, М., 1964.A.Г. Ченцов, Деп. в ВИНИТИ, 1933-79, Уральский политехнический институт им. С. М. Кирова, Свердловск, 1979.A.Г. Ченцов, Деп. в ВИНИТИ, 1933-79, Уральский политехнический институт им. С. М. Кирова, Свердловск, 1979.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.