Рассматриваются вопросы существования решений уравнений и достижимости минимальных значений функций. Все полученные утверждения объединены идеей существования для любого приближения к искомому решению или к точке минимума улучшенного приближения. Установлена взаимосвязь между рассматриваемыми задачами в метрических и частично упорядоченных пространствах. Также демонстрируется, как из полученных утверждений выводятся некоторые известные результаты о неподвижных точках и точках совпадения отображений метрических и частично упорядоченных пространств. Далее на основании аналогий в доказательствах всех полученных утверждений предлагается способ получения подобных результатов из доказываемой теоремы о выполнимости предиката следующего вида. Пусть X, ≤ - частично упорядоченное пространство, отображение Φ:X× X→ 0, 1 удовлетворяет следующему условию: для любого x∈X существует x ' ∈X такой, что x ' ≤x и Φx ' ,x =1. Рассматривается предикат F(x)=Φ(x,x) , получены достаточные условия его выполнимости, т. е. существования решения уравнения F(x)=1 . Этот результат был анонсирован в [Жуковская Т.В., Жуковский Е.С. О выполнимости предикатов, заданных на частично упорядоченных // Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2020). Тамбов, 2020, 34-36].
The questions of existence of solutions of equations and attainability of minimum values of functions are considered. All the obtained statements are united by the idea of existence for any approximation to the desired solution or to the minimum point of the improved approximation. The relationship between the considered problems in metric and partially ordered spaces is established. It is also shown how some well-known results on fixed points and coincidence points of mappings of metric and partially ordered spaces are derived from the obtained statements. Further, on the basis of analogies in the proofs of all the obtained statements, we propose a method for obtaining similar results from the theorem being proved on the satisfiability of a predicate of the following form. Let X, ≤ - be a partially ordered space, the mapping Φ:X ×X →0, 1 satisfies the following condition: for any x ∈X there exists x ' ∈X such that x ' ≤x and Φx ' ,x =1. The predicate F (x )= Φ(x ,x ) is considered, sufficient conditions for its satisfiability, that is, the existence of a solution to the equation F (x )=1 . This result was announced in [Zhukovskaya T.V., Zhukovsky E.S. Satisfaction of predicates given on partially ordered spaces // Kolmogorov Readings. General Control Problems and their Applications (GCP-2020). Tambov, 2020, 34-36].
The authors declare that there are no conflicts of interest present.