mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2020-25-132-370-386mathematics-231Research ArticleСТАТЬИARTICLESЭлементы аналитического конструктора решений в классе задач управления по быстродействию с целевым множеством с разрывной кривизной границыElements of analytical solutions constructor in a class of time-optimal control problems with the break of curvature of a target setЛебедевПавел ДмитриевичLebedevPavel D.pleb@yandex.ruУспенскийАлександр АлександровичUspenskiiAlexander A.uspen@imm.uran.ruФГБУН «Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского» Уральского отделения Российской академии наукРоссияN. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of SciencesRussian Federation20202412202025132370386Copyright © Лебедев П.Д., Успенский А.А., 20202020Лебедев П.Д., Успенский А.А.Lebedev P.D., Uspenskii A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/231

Рассмотрена плоская задача управления по быстродействию с круговой индикатрисой и целевым множеством с гладкой границей, имеющей конечные разрывы производных второго порядка от координатных функций. Изучены псевдовершины - особые точки границы цели, порождающие сингулярность у функции оптимального результата. Для нестационарных псевдовершин с разрывной кривизной найдены односторонние маркеры, значения которых нужны при аналитическом и численном построении ветвей сингулярного множества. Доказано, что маркеры лежат на границе спектра - области возможных значений. Один из них равен нулю, другой принимает несобственное значение -∞ . При их вычислении применены асимптотические разложения нелинейного уравнения, выражающего условие трансверсальности. На основе маркеров также получены точные формулы крайних точек ветвей сингулярного множества. Предъявлен пример задачи управления, в котором найденных с помощью развиваемых методов конструктивных элементов (псевдовершины, ее маркеров и крайней точки сингулярного множества) оказывается достаточно, чтобы на всей области рассмотрения построить в явном аналитическом виде сингулярное множество и функцию оптимального результата.

A planar velocity control problem with a disc indicatrix and a target set with a smooth boundary having finite discontinuities of second-order derivatives of coordinate functions is considered. We have studied pseudo-vertices-special points of the goal boundary that generate a singularity for the optimal control function. For non-stationary pseudo-vertices with discontinuous curvature, one-way markers are found, the values of which are necessary for analytical and numerical construction of branches of a singular set. It is proved that the markers lie on the border of the spectrum-the region of possible values. One of them is equal to zero, the other takes an invalid value -∞ . In their calculation, asymptotic expansions of a nonlinear equation expressing the transversality condition are applied. Exact formulas for the extreme points of branches of a singular set are also obtained based on markers. An example of a control problem is presented, in which the constructive elements are obtained using the developed methods (pseudo-vertex, its markers, and the extreme point of a singular set), are sufficient to construct a singular set and an optimal result function in an explicit analytical form over the entire area of consideration.

быстродействиефункция оптимального результатасингулярное множествотрансверсальностьуравнение Гамильтона-Якобибиссектрисаминимаксное решениедиффеоморфизмvelocityoptimal result functionsingular settransversalityHamilton-Jacobi equationbisectorminimax solutiondiffeomorphismReferencesЛ. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 1961.Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 1961.G. Leitmann, An Introduction to Optimal Control, McGraw-Hill, New York, 1966.G. Leitmann, An Introduction to Optimal Control, McGraw-Hill, New York, 1966.А. Брайсон, Ю-ши. Хо, Прикладная теория оптимального управления, Мир, М., 1972.А. Брайсон, Ю-ши. Хо, Прикладная теория оптимального управления, Мир, М., 1972.В. Г. Болтянский, Математические методы оптимального управления, Наука, М., 1969.В. Г. Болтянский, Математические методы оптимального управления, Наука, М., 1969.R. Bellman, Dynamic Programming, Princeton univ. press, New Jersey, 1957.R. Bellman, Dynamic Programming, Princeton univ. press, New Jersey, 1957.Н. Н. Красовский, А. И. Субботин, Позиционные дифференциальные игры, Наука, М., 1974.Н. Н. Красовский, А. И. Субботин, Позиционные дифференциальные игры, Наука, М., 1974.А. И. Субботин, Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации, Институт компьютерных технологий, Москва-Ижевск, 2003.А. И. Субботин, Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации, Институт компьютерных технологий, Москва-Ижевск, 2003.M. G. Crandall, P. L. Lions, "Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations", em Trans. Amer. Math.Soc, 277:1 (1983), 1-42.M. G. Crandall, P. L. Lions, "Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations", em Trans. Amer. Math.Soc, 277:1 (1983), 1-42.P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, V. N. Ushakov, "Construction of a minimax solution for an eikonal-type equation", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 263:S2 (2008), 191-201.P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, V. N. Ushakov, "Construction of a minimax solution for an eikonal-type equation", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 263:S2 (2008), 191-201.J. W. Bruce, P. J. Giblin, Curves and singularities, Cambridge University Press, Cambridge, 1984.J. W. Bruce, P. J. Giblin, Curves and singularities, Cambridge University Press, Cambridge, 1984.В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, “Альфа-множества в конечномерных евклидовых пространствах и их свойства”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки., 26:1 (2016), 95-120.В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, “Альфа-множества в конечномерных евклидовых пространствах и их свойства”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки., 26:1 (2016), 95-120.П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Построение решения задачи управления по быстродействию при нарушении гладкости кривизны границы целевого множества”, Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета, 53(2019), 98-114.П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Построение решения задачи управления по быстродействию при нарушении гладкости кривизны границы целевого множества”, Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета, 53(2019), 98-114.П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Конструирование негладкого решения задачи управления по быстродействию при низком порядке гладкости границы целевого множества”, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 25:1 (2019), 108-119.П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Конструирование негладкого решения задачи управления по быстродействию при низком порядке гладкости границы целевого множества”, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 25:1 (2019), 108-119.Th. Brocker, L. Lander, Differentiable Germs and Catastrophes, Cambrifge University Press, Cambridge, 1975.Th. Brocker, L. Lander, Differentiable Germs and Catastrophes, Cambrifge University Press, Cambridge, 1975.В. М. Закалюкин, “Огибающие семейств волновых фронтов и теория управления”, Тр. МИАН, 209 (1995.), 133-142.В. М. Закалюкин, “Огибающие семейств волновых фронтов и теория управления”, Тр. МИАН, 209 (1995.), 133-142.В. Ф. Демьянов, А. М. Рубинов, Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление, Наука, М, 1990.В. Ф. Демьянов, А. М. Рубинов, Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление, Наука, М, 1990.С. И. Дудов, “Дифференцируемость по направлениям функции расстояния”, Матем. Сборник, 186:3 (1995), 29-52.С. И. Дудов, “Дифференцируемость по направлениям функции расстояния”, Матем. Сборник, 186:3 (1995), 29-52.A. A. Uspenskii, P.D. Lebedev, "Construction of the optimal outcome function for a time-optimal problem on the basis of a symmetry set", Automation and Remote Control, 70:7 (2009), 1132-1139.A. A. Uspenskii, P.D. Lebedev, "Construction of the optimal outcome function for a time-optimal problem on the basis of a symmetry set", Automation and Remote Control, 70:7 (2009), 1132-1139.А. А. Успенский, “Необходимые условия существования псевдовершин краевого множества в задаче Дирихле для уравнения эйконала”, Труды Института математики и механики, 21:1 (2015), 250-263.А. А. Успенский, “Необходимые условия существования псевдовершин краевого множества в задаче Дирихле для уравнения эйконала”, Труды Института математики и механики, 21:1 (2015), 250-263.А. А. Успенский, П. Д. Лебедев, “Выявление сингулярности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнений типа эйконала в условиях минимальной гладкости границы краевого множества”, Вестник Удмуртского университета. Математика, механика, компьютерные науки. Ижевск, 28:1 (2018), 59-73.А. А. Успенский, П. Д. Лебедев, “Выявление сингулярности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнений типа эйконала в условиях минимальной гладкости границы краевого множества”, Вестник Удмуртского университета. Математика, механика, компьютерные науки. Ижевск, 28:1 (2018), 59-73.A. A. Uspenskii, P. D. Lebedev, "On the set of limit values of local diffeomorhisms in wavefront evolution", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 272:S1 (2011), 255-270.A. A. Uspenskii, P. D. Lebedev, "On the set of limit values of local diffeomorhisms in wavefront evolution", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 272:S1 (2011), 255-270.A. A. Uspenskii, "Calculation formulas for nonsmooth singularities of the optimal result function in a time-optimal problem", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 291:S1 (2015), 239-254.A. A. Uspenskii, "Calculation formulas for nonsmooth singularities of the optimal result function in a time-optimal problem", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 291:S1 (2015), 239-254.Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, “Некоторые свойства чебышјвских множеств”, Докл. АН СССР, 118:1 (1958), 17-19.Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, “Некоторые свойства чебышјвских множеств”, Докл. АН СССР, 118:1 (1958), 17-19.А.Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1 (2016), 3-84.А.Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1 (2016), 3-84.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.