Ранее автором была предложена довольно общая форма описания управляемых начально-краевых задач (УНКЗ) с помощью вольтерровых функциональных уравнений (ВФУ) вида z t =f t, A z t , vt , t≡ t 1 ,⋯, t n ∈ Π⊂ Rn , z∈ L p m ≡ L p Πm , где f.,.,. : Π× Rl ×Rs →Rm ; v(.)∈D⊂ L k s - управление; A:L pm→L ql - линейный оператор, вольтерров на некоторой системе T подмножеств Π в том смысле, что для любого H∈T сужение A[z] H не зависит от значений z Π\\H; p,q,k∈1, +∞ . Это определение вольтерровости - многомерное обобщение известного определения А.Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра. К подобным уравнениям естественным образом (обращением главной части) приводятся разнообразные УНКЗ для нелинейных эволюционных уравнений (параболических, гиперболических, интегро-дифференциальных, с разного рода запаздываниями и др.). Переход к эквивалентному ВФУ-описанию УНКЗ адекватен многим проблемам распределенной оптимизации. В частности, автором была предложена опирающаяся на это описание схема получения конструктивных достаточных условий устойчивости (при возмущении управления) существования глобальных решений (УСГР) УНКЗ. Схема использует продолжение локальных решений ВФУ (то есть решений на множествах H∈T ) вдоль упорядоченной по вложению конечной цепочки множеств H 1 ⊂ H 2 ⊂…⊂ H k-1 ⊂ H k≡ Π системы T . При этом используется опирающаяся на принцип сжимающих отображений специальная теорема существования локальных решений. В случае p=q=k=∞ при естественных предположениях возможность применения этого принципа обеспечивается тем, что оператор правой части F vz . (t)≡f(t,Az t , v(t)) удовлетворяет операторному условию Липшица с квазинильпотентным «оператором Липшица». Это позволяет, пользуясь хорошо известными результатами функционального анализа, ввести в пространстве L ∞m( H ) такую эквивалентную обычной норму, в которой оператор правой части будет сжимающим. В общем случае 1≤p, q, k ≤∞, охватывающем существенно более широкий круг УНКЗ, оператор правой части подобному операторному условию Липшица, вообще говоря, не удовлетворяет. В этом случае введение требуемой для применения принципа сжимающих отображений эквивалентной нормы пространства L pm( H ) обеспечивает доказанная ранее автором теорема об эквивалентной норме , опирающаяся на введенное им понятие суперравностепенной квазинильпотентности семейства линейных операторов, действующих в банаховом пространстве. В данной статье показано, как эта теорема может быть применена для получения достаточных условий УСГР ВФУ в указанном случае.
Earlier the author proposed a rather general form of describing controlled initial-boundary value problems (CIBVPs) by means of Volterra functional equations (VFE) z t =f t, A z t , vt , t≡ t 1 ,⋯, t n ∈ Π⊂ Rn , z∈ L p m ≡ L p Πm , where f .,.,. : Π× Rl ×Rs →Rm ; v (.)∈D⊂ L k s - control function; A : L p m Π→ L q l ( Π )- linear operator; the operator A is a Volterra operator for some system T of subsets of the set Π in the following sense: for any H ∈T , the restriction A[ z ] H does not depend on the values of z Π\\H ; (this definition of the Volterra operator is a direct multidimensional generalization of the well-known Tikhonov definition of a functional Volterra type operator). Various CIBVP (for nonlinear hyperbolic and parabolic equations, integro-differential equations, equations with delay, etc.) are reduced by the method of conversion the main part to such functional equations. The transition to equivalent VFE-description of CIBVP is adequate to many problems of distributed optimization. In particular, the author proposed (using such description) a scheme for obtaining sufficient stability conditions (under perturbations of control) of the existence of global solutions for CIBVP. The scheme uses continuation local solutions of functional equation (that is, solutions on the sets H ∈T ). This continuation is realized with the help of the chain H 1 ⊂ H 2 ⊂…⊂ H k-1 ⊂ H k≡ Π, where H i ∈T , i=1, k. A special local existence theorem is applied. This theorem is based on the principle of contraction mappings. In the case p =q =k =∞ under natural assumptions, the possibility of applying this principle is provided by the following: the right-hand side operator F vz . (t )≡f (t ,Az t , v (t )) satisfies the Lipschitz condition in the operator form with the quasi-nilpotent «Lipschitz operator». This allows (using well-known results of functional analysis) to introduce in the space L ∞ m (H ) such an equivalent norm in which the operator of the right-hand side will be contractive. In the general case 1≤p , q , k ≤∞, (this case covers a much wider class of CIBVP), the operator F v ; as a rule, does not satisfy such Lipschitz condition. From the results obtained by the author earlier, it follows that in this case there also exists an equivalent norm of the space L p m (H ) , for which the operator F v is a contraction operator. The corresponding basic theorem ( equivalent norm theorem ) is based on the notion of equipotential quasi-nilpotency of a family of linear operators, acting in a Banach space. This article shows how this theorem can be applied to obtain sufficient stability conditions (under perturbations of control) of the existence of global solutions of VFE.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.