mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2023-28-143-256-267mathematics-24Research ArticleНАУЧНЫЕ СТАТЬИORIGINAL ARTICLESК вероятностному описанию ансамбля траекторий непрерывно-дискретной системы управления с неполной информациейTo probabilistic description of an ensemble of trajectories to a continuous-discrete control system with incomplete informationhttps://orcid.org/0000-0002-0051-3696МаксимовВладимир ПетровичMaksimovVladimir P.maksimov@econ.psu.ruФГАОУ ВО «Пермский государственный национальный исследовательский университет»РоссияPerm State National Research UniversityRussian Federation20231010202328143256267Copyright © Максимов В.П., 20232023Максимов В.П.Maksimov V.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/24

Рассматривается линейная система управления с непрерывным и дискретным временем и дискретной памятью. Система содержит неопределенность в описании операторов, реализующих управляющие воздействия. Эта неопределенность является следствием случайных возмущений в предположении об их равномерном распределении на известных интервалах. При каждой реализации случайных возмущений возникает соответствующая траектория, а в совокупности – ансамбль траекторий, для которого дается покомпонентное вероятностное описание в виде семейства плотностей вероятности, параметризованных текущим временем. Для построения этих функций используется полученное ранее представление оператора Коши рассматриваемой системы. Предлагаемое вероятностное описание возмущений для траекторных переменных позволяет находить их стандартные характеристики, включая математическое ожидание и дисперсию, а также весь возможный диапазон значений. Результаты носят конструктивный характер и допускают эффективную компьютерную реализацию. Приводится иллюстрирующий пример.

A linear control system with continuous and discrete times and discrete memory is considered. The model includes an uncertainty in the description of operators implementing control actions. This uncertainty is a consequence of random disturbances under the assumption of their uniform distribution over known intervals. With each implementation a corresponding trajectory arises from random perturbations, and in the aggregate - an ensemble of trajectories, for which a component-by-component probabilistic description is given in the form of a set of probability density functions parametrized by the current time. To construct these functions, the previously obtained representation of the Cauchy operator of the system under consideration is used. The proposed probabilistic description of perturbations for trajectory variables allows one to find their standard characteristics, including expectation and variance, as well as the entire possible range of values. The results are constructive in nature and allow for effective computer implementation. An illustrative example is given.

функционально-дифференциальные уравнениягибридные системы с последействиемсистемы с неполной информациейfunctional differential equationshybrid systems with aftereffectsystems with uncertaintyReferencesN.V. Azbelev, L.F. Rakhmatullina, “Theory of linear abstract functional differential equations and applications”, Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics, 8 (1996), 1–102.N.V. Azbelev, L.F. Rakhmatullina, “Theory of linear abstract functional differential equations and applications”, Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics, 8 (1996), 1–102.Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина, Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения, Институт компьютерных исследований, М., 2002.Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина, Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения, Институт компьютерных исследований, М., 2002.V.P. Maksimov, “On a class of linear continuous-discrete systems with discrete memory”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 30:3 (2020), 385–395.V.P. Maksimov, “On a class of linear continuous-discrete systems with discrete memory”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 30:3 (2020), 385–395.В.П. Максимов, “О внутренних оценках множеств достижимости для непрерывно-дискретных систем с дискретной памятью”, Труды ИМИ УрО РАН, 27, 2021, 141–151.В.П. Максимов, “О внутренних оценках множеств достижимости для непрерывно-дискретных систем с дискретной памятью”, Труды ИМИ УрО РАН, 27, 2021, 141–151.J. Calatayud, J.-C. Cortes, M. Jornet, A. Navarro–Quiles, “Solving random ordinary and partial differential equations through the probability density function: theory and computing with applications”, Modern Mathematics and Mechanics. Fundamentals, Problems and Challenges, Understanding Complex Systems, eds. V. Sadovnichiy, Z. Zgurovsky, Springer, Cham, 2019, 261–282.J. Calatayud, J.-C. Cortes, M. Jornet, A. Navarro–Quiles, “Solving random ordinary and partial differential equations through the probability density function: theory and computing with applications”, Modern Mathematics and Mechanics. Fundamentals, Problems and Challenges, Understanding Complex Systems, eds. V. Sadovnichiy, Z. Zgurovsky, Springer, Cham, 2019, 261–282.В.П. Максимов, “Достижимые значения целевых функционалов в задачах экономической динамики”, Прикладная математика и вопросы управления, 2019, №4, 124–135.В.П. Максимов, “Достижимые значения целевых функционалов в задачах экономической динамики”, Прикладная математика и вопросы управления, 2019, №4, 124–135.E.I. Bravyi, V.P. Maksimov, P.M. Simonov, “Some economic dynamics problems for hybrid models with aftereffect”, Mathematics, 8:10 (2020), 1832.E.I. Bravyi, V.P. Maksimov, P.M. Simonov, “Some economic dynamics problems for hybrid models with aftereffect”, Mathematics, 8:10 (2020), 1832.В.П. Максимов, “Непрерывно-дискретные динамические модели”, Уфимский математический журнал, 13:3 (2021), 97–106.В.П. Максимов, “Непрерывно-дискретные динамические модели”, Уфимский математический журнал, 13:3 (2021), 97–106.V.P. Maksimov, “The structure of the Cauchy operator to a linear continuous-discrete functional differential system with aftereffect and some properties of its components”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 29:1 (2019), 40–51.V.P. Maksimov, “The structure of the Cauchy operator to a linear continuous-discrete functional differential system with aftereffect and some properties of its components”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 29:1 (2019), 40–51.V.P. Maksimov, “Constructive study of controllability for a class of continuous-discrete systems with an uncertainty”, Functional Differential Equations, 29:3-4 (2022), 183–195.V.P. Maksimov, “Constructive study of controllability for a class of continuous-discrete systems with an uncertainty”, Functional Differential Equations, 29:3-4 (2022), 183–195.В.Я. Дерр, Теория вероятностей и математическая статистика, Лань, М., 2021.В.Я. Дерр, Теория вероятностей и математическая статистика, Лань, М., 2021.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.