mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2019-24-128-354-367mathematics-247Research ArticleСТАТЬИARTICLESПсевдоспектр оператора конвенции-диффузии с переменным членом реакцииThe pseudospectrum of the convention-diffusion operator with a variable reaction termГеббайХамзаGuebbaiHamzaguebaihamza@yahoo.fr; guebbai.hamza@univ-guelma.dzСегниСамиSegniSamisegnianis@gmail.com; segni.sami@univ-guelma.dzГиатМорадGhiatMouradmourad.ghi24@gmail.com; ghiat.mourad@univ-guelma.dzМерчелаВассимMerchelaWassimmerchela.wassim@gmail.comУниверситет 8 мая 1945РоссияUniversit´e 8 Mai 1945Russian FederationФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина»РоссияDerzhavin Tambov State UniversityRussian Federation20190101202024128354367Copyright © Геббай Х., Сегни С., Гиат М., Мерчела В., 20202020Геббай Х., Сегни С., Гиат М., Мерчела В.Guebbai H., Segni S., Ghiat M., Merchela W.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/247

В статье исследуется спектр несамосопряженного оператора конвекции-диффузии с переменным членом реакции, определенным на неограниченном открытом множестве Ω ⊂ R n . Идея исследования состоит в том, чтобы построить семейство операторов, имеющих такую же формулу конвекции-диффузии-реакции, но определенных на ограниченных открытых множествах { Ω η } η ∈ ]0,1[ ⊂ R n . Основываясь на соотношениях, которые связывают это семейство с Ω , получены соотношения между спектром и псевдоспектром. Для построения соотношений между оператором конвекции-диффузии и его сужениями на ограниченные области используется понятие псевдоспектра. Полученные соотношения используются для определения спектра исходного оператора в R + . Методы, разработанные для нахождения спектра заданного оператора, позволяют также изучить некоторые свойства этого спектра при переходе к пределу, когда член реакции стремится к нулю. В частности, показано, как определить спектр заданного оператора конвекции-диффузии-реакции при возмущении члена реакции, а не области определения.

In this paper, we study the spectrum of non-self-adjoint convection-diffusion operator with a variable reaction term defined on an unbounded open set Ω of Rn . Our idea is to build a family of operators that have the same convection-diffusion-reaction formula, but which will be defined on bounded open sets { Ω η } η ∈]0,1[ of Rn . Based on the relationships that link this family to Ω , we obtain relations between the spectrum and the pseudospectrum. We use the notion of the pseudospectrum to build relationships between convection-diffusion operator and its restrictions to bounded domains. Using these relationships we are able to find the spectrum of our operator in R+ . Also, the techniques developed to obtain the spectrum allow us to study the properties of the spectrum of this operator when we go to the limit as the reaction term tends to zero. Indeed, we show a spectral localization result for the same convection-diffusion-reaction operator when a perturbation is carried on the reaction term and no longer on the definition domain.

дифференциальный операторспектрпсевдоспектроператор конвенции-диффузииdifferential operatorspectrumpseudospectrumconvention-diffusion operatorReferencesH. Guebbai, A. Largillier, “Spectra and Pseudospectra of Convection-Diffusion Operator”, Lobachevskii Journal of Mathematics, 33:1 (2012), 274-283.H. Guebbai, A. Largillier, “Spectra and Pseudospectra of Convection-Diffusion Operator”, Lobachevskii Journal of Mathematics, 33:1 (2012), 274-283.E. Shargorodsky, “On the definition of pseudospectra”, Bull. London Math. Soc., 41:2 (2009), 524-534.E. Shargorodsky, “On the definition of pseudospectra”, Bull. London Math. Soc., 41:2 (2009), 524-534.S. Roch, B. Silbermann, “C*-algebra techniques in numerical analysis”, J. Operator Theory, 35 (1996), 241-280.S. Roch, B. Silbermann, “C*-algebra techniques in numerical analysis”, J. Operator Theory, 35 (1996), 241-280.L.N. Trefethen, Pseudospectra of matrices, Longman Sci. Tech. Publ., Harlow, 1992.L.N. Trefethen, Pseudospectra of matrices, Longman Sci. Tech. Publ., Harlow, 1992.L.N. Trefethen, “Pseudospectra of linear operators”, SIAM Review, 39:3 (1997), 383-406.L.N. Trefethen, “Pseudospectra of linear operators”, SIAM Review, 39:3 (1997), 383-406.E.B. Davies, “Pseudospectra of Differential Operators”, J. Operator Theory, 43:3 (2000), 243-262.E.B. Davies, “Pseudospectra of Differential Operators”, J. Operator Theory, 43:3 (2000), 243-262.E.B. Davies, Spectral Theory and Differential Operators, Cambridge University Press, New York, 1995.E.B. Davies, Spectral Theory and Differential Operators, Cambridge University Press, New York, 1995.L. Boulton, Non-self-adjoint harmonic oscillator, compact semigroups and pseudospectra, Maths.SP/9909179, London, 1999.L. Boulton, Non-self-adjoint harmonic oscillator, compact semigroups and pseudospectra, Maths.SP/9909179, London, 1999.S.C. Reddy, L.N. Trefethen, “Pseudospectra of the convection-diffusion operator”, SIAM J. Appl. Math., 54:1 (1994), 1634-1649.S.C. Reddy, L.N. Trefethen, “Pseudospectra of the convection-diffusion operator”, SIAM J. Appl. Math., 54:1 (1994), 1634-1649.T. Kato, Perturbation Theory of Linear Operators, Springer-Verlag, Berlin, 1980.T. Kato, Perturbation Theory of Linear Operators, Springer-Verlag, Berlin, 1980.R.A. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.R.A. Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, New York, 1975.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.