В данной статье развиваются результаты работ, посвященных исследованию задач для функционально-дифференциальных уравнений и включений с каузальными операторами, на случай бесконечного запаздывания. Во введении обосновывается актуальность темы исследования и приведены ссылки на соответствующие работы А. Н. Тихонова, C. Corduneanu, А. И. Булгакова, Е. С. Жуковского, В. В. Обуховского и P. Zecca. Во втором разделе представлена необходимая информация из теории уплотняющих многозначных отображений и мер некомпактности, также вводится понятие многозначного каузального оператора с бесконечным запаздыванием, которое иллюстрируется примерами. В следующем разделе формулируется задача Коши для функционального включения, содержащего композицию многозначного и однозначного каузальных операторов; изучаются свойства мультиоператора, неподвижные точки которого являются решениями задачи. В частности достаточные условия, при которых этот мультиоператор является уплотняющим относительно соответствующей меры некомпактности. На этой основе в четвертом разделе получаем локальную и глобальную теоремы существования решений и непрерывную зависимость множества решений от начальных данных. Далее рассматривается случай включений с полунепрерывными снизу мультиоператорами. В последнем разделе обобщаются некоторые результаты для полулинейных дифференциальных включений и интегро-дифференциальных включений Вольтерра с бесконечным запаздыванием.
In the present article we develop the results of works devoted to the study of problems for functional differential equations and inclusions with causal operators, in case of infinite delay. In the introduction of the article we substantiates the relevance of the research topic and provides links to relevant works A. N. Tikhonov, C. Corduneanu, A. I. Bulgakov, E. S. Zhukovskii, V. V. Obukhovskii and P. Zecca. In section two we present the necessary information from the theory of condensing multivalued maps and measures of noncompactness, also introduced the concept of a multivalued causal operator with infinite delay and illustrated it by examples. In the next section we formulate the Cauchy problem for functional inclusion, containing the composition of multivalued and single-valued causal operators; we study the properties of the multiopera-tor whose fixed points are solutions of the problem. In particular, sufficient conditions under which this multioperator is condensing on the respective measures of noncompacness. On this basis, in section four we prove local and global results and continuous dependence of the solution set on initial data. Next the case of inclusions with lower semicontinuous causal multioperators is considered. In the last section we generalize some results for semilinear differential inclusions and Volterra integrodifferential inclusions with infinite delay.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.