Проводится обзор восходящего к И.~Шуру решения классической проблемы коэффициентов на классе~$\Omega_0$ ограниченных в единичном круге функций \omega c нормировкой $\omega(0)=0.$ Затем выводятся первые шесть неравенств, описывающие соответственно первые шесть тел коэффициентов на классе~$\Omega_0.$ Далее излагается метод получения аналогичных неравенств для связанных с классом $\Omega_0$ классов $M_F$ функций, подчиненных голоморфной функции $F,$ и при этом дается решение проблемы коэффициентов для этих классов. Затем анализируются свойства упомянутых неравенств, а также связи между ними. Кроме того показано, что для описания $n$-го тела коэффициентов на классе $\Omega_0,$ а следовательно, и $M_F$ достаточно только одного $n$-го неравенства. Обсуждаются задачи как об оценке модуля каждого начального тейлоровского коэффициента по отдельности, так и об оценке модулей всех тейлоровских коэффициентов сразу. Задача получения точных оценок модуля тейлоровского коэффициента с номером $n,$ то есть функционала $|\{f\}_n|,$ на классе $M_F$ сначала сведена к задаче об оценке функционала над классом~$\Omega_0,$ которая в свою очередь сведена к задаче о поиске максимального по модулю условного экстремума действительнозначной функции $2(n-1)$ действительных аргументов с ограничениями типа неравенств $0\leqslant x_k\leqslant1,$ $0\leqslant\varphi_k<2\pi,$ что позволяет применять стандартные методы дифференциального исчисления для исследования на экстремумы, так как целевая функция бесконечно гладкая по всем своим аргументам. Для этого используются результаты решения классической проблемы коэффициентов на классе~$\Omega_0.$
A review of the solution of the classical coefficient problem on the class $\Omega_0$ of bounded in the unit disc functions $\omega$ with normalization $\omega(0)=0,$ going back to I. Schur, is given. Then the first six inequalities, describing respectively the first six coefficient bodies on the class $\Omega_0,$ are derived. Next, a method of obtaining similar inequalities for classes $M_F$ of functions subordinated to the holomorphic function $F,$ giving the solution of the coefficient problem for these classes, is given. Then the properties of the mentioned inequalities as well as the relations between them are analyzed. In addition, it is shown that only one $n$-th inequality is sufficient to describe the $n$-th body of coefficients on the class $\Omega_0,$ and hence on $M_F.$ The problems of estimating both the modulus of each initial Taylor coefficient individually and estimating modules of all Taylor coefficients at once are discussed. The problem of obtaining the sharp estimates of the modulus of the Taylor coefficient with number $n,$ i.e. the functional $|\{f\}_n|,$ on the class $M_F$ is at first reduced to the problem of estimating the functional over the class $\Omega_0,$ which in turn is reduced to the problem of finding the maximal modulo of conditional extremum of a real-valued function of $2(n-1)$ real arguments with constraints of inequality type $0 \leqslant x_k \leqslant1,$ $0\leqslant\varphi_k<2\pi,$ which allows us to apply standard methods of differential calculus to study for extrema, since the target function is infinitely smooth in all of its arguments. For this purpose, the results of the solution of the classical coefficient problem on the class $\Omega_0$ are used.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.