В банаховом пространстве изучается линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n -го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами. Нахождение общего решения ЛНДУ сводится к построению общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ). Характеристическое операторное уравнение для ЛОДУ рассматривается в банаховой алгебре комплексных операторов. В общем случае, когда среди корней характеристического операторного уравнения имеются как действительные, так и комплексные операторные корни, указывается n -параметрическое семейство решений ЛОДУ. При построении этого семейства используются операторные функции eAt ; sinBt ; cosBt действительного аргумента t ∈ [0;∞) : Выясняются условия, при которых данное семейство решений является общим решением ЛОДУ. В случае, когда характеристическое операторное уравнение имеет простые действительные операторные корни и простые чисто мнимые операторные корни, указан конкретный вид таких условий. В частности, эти корни должны коммутировать с операторными коэффициентами ЛОДУ. Кроме того, они должны коммутировать между собой. При доказательстве соответствующего утверждения применяется операторно-векторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве.
A linear inhomogeneous differential equation (LIDE) of the n th order with constant bounded operator coefficients is studied in Banach space. Finding a general solution of LIDE is reduced to the construction of a general solution to the corresponding linear homogeneous differential equation (LHDE). Characteristic operator equation for LHDE is considered in the Banach algebra of complex operators. In the general case, when both real and complex operator roots are among the roots of the characteristic operator equation, the n -parametric family of solutions to LHDE is indicated. Operator functions eAt ; sinBt ; cosBt of real argument t ∈ [0;∞) are used when building this family. The conditions under which this family of solutions form a general solution to LHDE are clarified. In the case when the characteristic operator equation has simple real operator roots and simple pure imaginary operator roots, a specific form of such conditions is indicated. In particular, these roots must commute with LHDE operator coefficients. In addition, they must commute with each other. In proving the corresponding assertion, the Cramer operator-vector rule for solving systems of linear vector equations in a Banach space is applied
The authors declare that there are no conflicts of interest present.