mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2026-31-154-115-127mathematics-363Research ArticleНАУЧНЫЕ СТАТЬИORIGINAL ARTICLESДоказательство выпуклости функции L(σ, T) при малых T и гипотеза РиманаProof of the convexity of the function L(σ, T) for small T and the Riemann hypothesishttps://orcid.org/0000-0003-4029-5715БлиновскийВладимир МарковичBlinovskyVladimir M.

Блиновский Владимир Маркович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник  

127051, г. Москва, Большой Каретный переулок, 19

Vladimir M. Blinovsky, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Chief Researcher    

19 Bolshoy Karetny per., Moscow 127051

vblinovs@yandex.ruhttps://orcid.org/0000-0003-4136-1227ПчелинцевАлександр НиколаевичPchelintsevAlexander N.

Пчелинцев Александр Николаевич, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой «Высшая математика»  

392000, г. Тамбов, ул. Советская, 106

Alexander N. Pchelintsev, Candidate of Physics and Mathematics, Head of the Higher Mathematics Department  

106 Sovetskaja St., Tambov 392000

pchelintsev.an@yandex.ruФГБУН «Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук»РоссияInstitute for Information Transmission ProblemsRussian FederationФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет»РоссияTambov State Technical UniversityRussian Federation20260607202631154115127Copyright © Блиновский В.М., Пчелинцев А.Н., 20262026Блиновский В.М., Пчелинцев А.Н.Blinovsky V.M., Pchelintsev A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/363

В статье доказывается гипотеза Римана для частного случая, когда действительная $\sigma$ и мнимая $T=1/(2a)$ части аргумента дзета-функции принадлежат определенной области $\Theta_R$ комплексной плоскости. В основу положен метод В. Блиновского: 1) выводится выражение для функции $L(\sigma,a)$ – квадрата модуля основной части дзета-функции, влияющей на ее нули, 2) доказательство гипотезы Римана сводится к доказательству выпуклости вниз функции $L$ по $\sigma,$ т. е. положительности $L_{\sigma\sigma}^{(2)}(\sigma,a).$ Авторами показаны оценки, позволяющие описать область $\Theta_R,$ приведены данные вычислительного эксперимента, проведенного в математическом пакете Maxima, по построению области $\Theta_R.$ Сделан обзор литературы по современному состоянию вопроса доказательства гипотезы. Предложено дальнейшее развитие метода как с точки зрения расширения области $\Theta_R,$ так и для повышения вычислительной эффективности.

The authors of this article prove the Riemann hypothesis for a special case when the real $\sigma$ and imaginary $T=1/(2a)$ parts of the zeta function argument belong to a certain region $\Theta_R$ of the complex plane. It is based on V. Blinovsky's method: 1) an expression is derived for the function $L(\sigma,a),$ the square of the modulus of the fundamental part of the zeta function, which affects its zeros, 2) the proof of the Riemann hypothesis is reduced to proving the U-convexity of the function $L$ by $\sigma,$ i. e. the positivity of $L_{\sigma\sigma}^{(2)}(\sigma,a).$ The authors provide estimates that allow us to describe the region $\Theta_R,$ and present the data of a computational experiment conducted in the Maxima mathematical package by constructing the region $\Theta_R.$ A literature review on the current state of hypothesis proof is provided. Further development of the method is proposed both in terms of expanding the region $\Theta_R$ and for increasing computational efficiency.

гипотеза Риманаметод Блиновскогодзета-функциягамма-функцияматематический пакет MaximaRiemann hypothesisBlinovsky’s methodzeta functiongamma functionMaxima mathematical packageReferencesИ. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, рядов и произведений, БХВ-Петербург, Санкт-Петербург, 2011.S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, Tables of Integrals, Series and Products, BHV-Petersburg Publ., Saint Petersburg, 2011 (In Russian)].W. Magnus, F. Oberhettinger, R. P. Soni, Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 52, Springer Berlin, Heidelberg, 1966, 508 pp.W. Magnus, F. Oberhettinger, R. P. Soni, Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 52, Springer Berlin, Heidelberg, 1966, 508 pp.E. T. Whittaker, G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Part II: Transcendental Functions, 5th ed., Cambridge University Press, 2021, 668 pp.E. T. Whittaker, G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Part II: Transcendental Functions, 5th ed., Cambridge University Press, 2021, 668 pp.M. A. Chaudhry, A. Qadir, A. Tassaddiq, “A new generalization of the Riemann zeta function and its difference equation”, Advances in Difference Equations, 2011 (2011), art. no. 20.M. A. Chaudhry, A. Qadir, A. Tassaddiq, “A new generalization of the Riemann zeta function and its difference equation”, Advances in Difference Equations, 2011 (2011), art. no. 20.H. M. Srivastava, M. A. Chaudhry, A. Qadir, A. Tassaddiq, “Some extensions of the Fermi-Dirac and Bose-Einstein functions with applications to the family of the zeta and related functions”, Russian Journal of Mathematical Physics, 18 (2011), 107–121.H. M. Srivastava, M. A. Chaudhry, A. Qadir, A. Tassaddiq, “Some extensions of the Fermi-Dirac and Bose-Einstein functions with applications to the family of the zeta and related functions”, Russian Journal of Mathematical Physics, 18 (2011), 107–121.P. T. Young, Differential equations satisfied by zeta functions, 2021, https://doi.org/10.13140/RG.2.2.26010.98244.P. T. Young, Differential equations satisfied by zeta functions, 2021, https://doi.org/10.13140/RG.2.2.26010.98244.A. N. Pchelintsev, “On a high-precision method for studying attractors of dynamical systems and systems of explosive type”, Mathematics, 10:8 (2022), ID 1207.A. N. Pchelintsev, “On a high-precision method for studying attractors of dynamical systems and systems of explosive type”, Mathematics, 10:8 (2022), ID 1207.Е. А. Карацуба, “Быстрое вычисление значений дзета-функции Гурвица и L -рядов Дирихле”, Проблемы передачи информации, 34:4 (1998), 62–75; англ. пер.E. A. Karatsuba, “Fast evaluation of the Hurwitz zeta function and Dirichlet L -series”, Problems Inform. Transmission, 34:4 (1998), 342–353.E. C. Titchmarsh, The Theory of The Riemann Zeta-Function, 2nd ed., Clarendon Press, Oxford, 1986.E. C. Titchmarsh, The Theory of The Riemann Zeta-Function, 2nd ed., Clarendon Press, Oxford, 1986.С. Б. Стечкин, “О нулях дзета-функции Римана”, Математические заметки, 8:4 (1970), 419–429; англ. пер.S. B. Stechkin, “Zeros of the Riemann zeta-function”, Math. Notes, 8:4 (1970), 706–711.И. М. Виноградов, “Новая оценка функции ζ(1 + it) ”, Известия Академии наук СССР. Серия математическая, 22:2 (1958), 161–164.I. M. Vinogradov, “A new estimate of the function ζ(1 + it) ”, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 22:2 (1958), 161–164 (In Russian)].А. А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, Едиториал УРСС, М., 2004.A. A. Karatsuba, Fundamentals of Analytical Number Theory, Editorial URSS, Moscow, 2004 (In Russian)].Н. М. Коробов, “Оценки тригонометрических сумм и их приложения”, Успехи математических наук, 13:4(82) (1958), 185–192.N. M. Korobov, “Estimates of trigonometric sums and their applications”, Uspekhi Mat. Nauk, 13:4(82) (1958), 185–192 (In Russian)].K. Ford, “Vinogradov’s integral and bounds for the Riemann zeta function”, Proceedings of the London Mathematical Society, 85:3 (2002), 565–633.K. Ford, “Vinogradov’s integral and bounds for the Riemann zeta function”, Proceedings of the London Mathematical Society, 85:3 (2002), 565–633.K. Ford, “Zero-free regions for the Riemann zeta function”, 2025, arXiv: abs/1910.08205v56.K. Ford, “Zero-free regions for the Riemann zeta function”, 2025, arXiv: abs/1910.08205v56.M. J. Mossinghoff, T. S. Trudgian, “Nonnegative trigonometric polynomials and a zero-free region for the Riemann zeta-function”, Journal of Number Theory, 157 (2015), 329–349.M. J. Mossinghoff, T. S. Trudgian, “Nonnegative trigonometric polynomials and a zero-free region for the Riemann zeta-function”, Journal of Number Theory, 157 (2015), 329–349.M. J. Mossinghoff, T. S. Trudgian, A. Yang, “Explicit zero-free regions for the Riemann zeta-function”, Research in Number Theory, 10 (2024), art. no. 11.M. J. Mossinghoff, T. S. Trudgian, A. Yang, “Explicit zero-free regions for the Riemann zeta-function”, Research in Number Theory, 10 (2024), art. no. 11.A. M. Odlyzko, A. Sch¨onhage, “Fast algorithms for multiple evaluations of the Riemann zeta-function”, Transactions of the American Mathematical Society, 309:2 (1988), 797–809.A. M. Odlyzko, A. Sch¨onhage, “Fast algorithms for multiple evaluations of the Riemann zeta-function”, Transactions of the American Mathematical Society, 309:2 (1988), 797–809.A. M. Odlyzko, “The 1022 -th zero of the Riemann zeta function”, Contemporary Mathematics, Special Session on Dynamical, Spectral, and Arithmetic Zeta Functions, 290, eds. M. L. Lapidus, M. van Frankenhuysen, 2001, 139–144.A. M. Odlyzko, “The 1022 -th zero of the Riemann zeta function”, Contemporary Mathematics, Special Session on Dynamical, Spectral, and Arithmetic Zeta Functions, 290, eds. M. L. Lapidus, M. van Frankenhuysen, 2001, 139–144.V. Blinovsky, “Proof of Riemann hypothesis”, 2019, arXiv: abs/1703.03827v12.V. Blinovsky, “Proof of Riemann hypothesis”, 2019, arXiv: abs/1703.03827v12.В. А. Зорич, Математический анализ. Часть II, МЦНМО, М., 2002.V. A. Zorich, Mathematical Analysis. Part II, MCNMO Publ., Moscow, 2002 (In Russian)].Maxima computer algebra system, http://maxima.sourceforge.net/ru/.Maxima computer algebra system, http://maxima.sourceforge.net/ru/.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.