Яремко Олег Эмануилович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики
127055, г. Москва, Вадковский переулок, 3А
Oleg E. Yaremko, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Applied Mathematics Department
3A Vadkovsky Lane, Moscow 127055
Яремко Наталия Николаевна, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математики
119049, г. Москва, Ленинский проспект, 4
Nataliia N. Yaremko, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Mathematics Department
4 Leninsky Prospekt, Moscow 119049
Рассматривается линейная двухкомпонентная система уравнений в частных производных реакция-диффузия на действительной оси, моделирующая обратимую химическую реакцию. Основное внимание уделено случаю различных коэффициентов диффузии, при котором операторы диффузии и реакции не коммутируют, однако, выполняется закон сохранения полной массы. Это исключает факторизацию решения и приводит к нетривиальной пространственно-временной динамике. С помощью преобразования Фурье задача сводится к семейству линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для сравнения приведено классическое факторизованное решение в случае равных коэффициентов диффузии, когда операторы коммутируют. Решение строится методом последовательных приближений Пикара для интегрального уравнения Вольтерра, который имеет высокую скорость сходимости, а его члены ряда допускают прозрачную физическую интерпретацию. Выражения для концентрации представлены в виде суммы прямого диффузионного вклада молекул, не претерпевших реакций и вклада молекул, прошедших определенную последовательность переходов между состояниями. Полученные формулы предоставляют эффективный инструмент как для качественного анализа пространственно-временной динамики, так и для количественных расчетов с контролируемой точностью в прикладных задачах химической кинетики, транспорта веществ.
We consider a linear two-component system of reaction–diffusion partial differential equations on the real axis, modeling a reversible chemical reaction. The main focus is on the case of distinct diffusion coefficients, where the diffusion and reaction operators do not commute, but the law of total mass conservation holds. This precludes solution factorization and leads to non-trivial spatiotemporal dynamics. Using the Fourier transform, the problem is reduced to a family of linear systems of ordinary differential equations. For comparison, the classical factorized solution is presented for the case of equal diffusion coefficients, where the operators commute. The solution is constructed using the Picard successive approximation method for the Volterra integral equation, which exhibits a high convergence rate, and its series terms admit a transparent physical interpretation. The expressions for concentration are represented as a sum of the direct diffusion contribution of molecules that have not undergone reactions and that of molecules that have undergone a certain sequence of transitions between states. The obtained formulas provide an effective tool both for qualitative analysis of spatiotemporal dynamics and for quantitative calculations with controlled accuracy in applied problems of chemical kinetics and mass transport.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.