В данной работе получены новые точные неравенства, которые связывают наилучшее приближения тригонометрическими полиномами дифференцируемых 2π-периодических суммируемых с квадратом функций с интегралами, содержащими обобщенные модули непрерывности высших порядков r-й производной функций в метрике пространства L2[0;2π]: Пусть N — множество натуральных чисел, Z+=N∪{0}. Для произвольных m∈N; r∈Z+; t>0; определены классы 2π-периодических функций: W_m^(r)(t,ω)⊂L_2^(r), у которых усредненное значение обобщенного модуля непрерывности r-й производной функции ограничено сверху мажорантой ω; и W_m^(r)(t)⊂L_2^(r), у которых усредненное значение характеристики гладкости m(f^(r); t) ограничено сверху единицей. Рассматривается экстремальная задача вычисления точных значений верхних граней наилучших полиномиальных приближений класса W_m^(r)(t,ω). Полученные в работе точные результаты также применяются для вычисления значения некоторых известных n-поперечников класса W_m^(r)(t), когда речь идет о получении оценки сверху. Оценки снизу для этих же поперечников удается получить при помощи теоремы о поперечнике шара.
In the paper, we obtain new exact inequalities that relate the best approximations by trigonometric polynomials of differentiable 2π-periodic square summable functions to integrals containing generalized moduli of continuity of higher orders of the r-th derivative of the functions in the metric of the space L2[0;2π]: Let N be the set of natural numbers, Z+=N∪{0}. For arbitrary m∈N; r∈Z+; t>0; the classes of 2π-periodic functions are defined: W_m^(r)(t,ω)⊂L_2^(r), for which the average value of the generalized modulus of continuity of the r-th derivative of a function is bounded from above by the majorant ω; and W_m^(r)(t)⊂L_2^(r), for which the average value of the smoothness characteristic m(f^(r); t) is bounded from above by unity. We consider the extremal problem of calculating the exact upper bounds of best polynomial approximations of the class W_m^(r)(t,ω). The exact results obtained in the paper are also applied to calculating the value of some known n-widths of the class W_m^(r)(t); when obtaining upper bounds. Lower bounds for these same widths can be obtained using the theorem on the width of a ball.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.