Исследуется модель динамики популяции, развитие которой при отсутствии эксплуатации задано логистическим дифференциальным уравнением с мальтузианским коэффициентом. Рассматривается данное уравнение на отрезке времени [0; T], где T > 0 — заданное число. Предполагаем, что в моменты времени tk из популяции извлекается некоторая доля биологического ресурса uk, и количество ресурса, оставшегося в момент времени T, равно начальному количеству x0. Обозначим через Xk количество ресурса до сбора в момент tk, общий доход от сбора на отрезке [0; T] определим как сумма Xkuk. Исследуем задачу нахождения моментов времени t1, ..., tn-1 и построения управлений u1, ..., un для достижения наибольшего дохода на [0; T]. Также рассматривается доход от сбора при дополнительном условии, что в каждый момент времени добыча ресурса связана с расходами на обслуживание оборудования или оплату труда. Считаем, что величина этих расходов постоянная в каждый момент времени и равна c > 0, тогда общий доход от сбора ресурса на отрезке [0; T] определим как сумма Xkuk - cn. Описан режим эксплуатации популяции, при котором достигается наибольшее значение данной характеристики. Исследуется средняя временная выгода от сбора ресурса в предположении, что количество извлечений n(T) на отрезке [0; T] зависит от длины этого отрезка.
We consider a model of population dynamics which development in the absence of exploitation is given by the logistic differential equation with a Malthusian coefficient. We consider this equation on the time interval [0; T], where T > 0 is a given number. Assume that at the moments of time tk, a certain share of the biological resource uk is extracted from the population and the amount of resource remaining at time T is equal to the initial amount x0. Let Xk be the amount of resource before collection at the time tk, and define the total income from collection on the interval [0; T] as the sum of Xkuk. We study the problem of finding the time moments t1, ..., tn-1 and constructing the controls u1, ..., un to achieve the maximum income on [0; T]. Also, the income from the collection is considered under the additional condition that at each moment of time, the extraction of the resource is associated with the costs of equipment maintenance or labor. We assume that the value of these costs is constant at each moment of time and is equal to c > 0, then the total income from the collection of the resource on the interval [0; T] is defined as the sum of Xkuk - cn. The mode of exploitation of the population in which the greatest value of this characteristic is achieved is described. The average time profit from harvesting a resource is investigated under the assumption that the number of extractions n(T) on the interval [0; T] depends on the length of this interval.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.