Настоящая статья посвящена оценкам модулей тейлоровских коэффициентов на классах голоморфных функций, не обращающихся в нуль и ограниченных в единичном круге. Обозначим множество всех голоморфных функций, ограниченных снизу по модулю в единичном круге, через E. Пусть t ≥ 0 — параметр. На подклассах Et класса E, содержащих отображения из E, нормированные в начале координат, получены точные оценки модулей всех тейлоровских коэффициентов. Рассмотрим класс B, состоящий из голоморфных функций, ограниченных по модулю сверху и не обращающихся в нуль в единичном круге, а также его подклассы Bt, состоящие из функций класса B, нормированных в начале координат. Классы E и Et связаны с классами B и Bt посредством инволюции. Промежуточное положение между двумя упомянутыми классами E и B занимает множество голоморфных функций Aζ,r, 0 < ζ < r, ограниченных по модулю сверху и снизу. Классы Aζ,r можно разбить на подклассы Aζ,r,t функций класса Aζ,r, нормированных в начале координат. Фиксируем ζ и r. Изучение класса Aζ,r можно свести к изучению класса A1,r/ζ, являющегося подклассом класса E, или к изучению класса Aζ/r,1, являющегося подклассом класса B. При этом A1,r/ζ → E и Aζ/r,1 → B при r → 1. На классах A1,r,t построена мажорирующая функция с действительными коэффициентами, благодаря чему с помощью теории подчинения получены точные оценки модулей первых двух тейлоровских коэффициентов на каждом классе A1,r,t, а также на классе A1,r.
The article is devoted to the estimates of the moduli of Taylor coefficients on classes of holomorphic functions that do not vanish and are bounded in the unit disk. Let us denote the set of all holomorphic functions that are bounded from below by modulus in the unit disk by E. Let t ≥ 0 be a parameter. The sharp estimates of the moduli of all Taylor coefficients have been obtained for subclasses Et of the class E that contain mappings from E normalized at the origin. We consider the class B consisting of holomorphic functions that are bounded from above by modulus and do not vanish in the unit disk, as well as its subclasses Bt which consist of functions from the class B normalized at the origin. The classes E and Et are related to the classes B and Bt through involution. An intermediate position between the two aforementioned classes E and B is occupied by the set of holomorphic functions Aζ,r, 0 < ζ < r, that are bounded from above and from below by modulus. The classes Aζ,r can be divided into subclasses Aζ,r,t of functions from class Aζ,r normalized at the origin. We fix ζ and r. The study of the class Aζ,r can be reduced to the study of the class A1,r/ζ which is a subclass of the class E, or to the study of the class Aζ/r,1 which is a subclass of the class B. Besides, A1,r/ζ → E and Aζ/r,1 → B as r → 1. A majorizing function with real coefficients has been constructed for the classes A1,r,t, enabling us using the theory of subordination to obtain the sharp estimates of the moduli of the first two Taylor coefficients for each class A1,r,t and also for the class A1,r.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.