Рассматривается автономная система дифференциальных уравнений$$\dot x =f(x), \quad \text {где} \quad x\in\mathbb R^n,$$вектор-функция $f(x)$ и ее производные $\partial f_i/\partial x_j$ ($i,j=1,\ldots,n$) непрерывны.Выделены три класса автономных систем и описаны свойства, которыми обладают решения систем каждого класса.
Будем считать, что система относится к первому классу на множестве $D\subseteq\mathbb R^n,$ если правые части этой системыне зависят от переменных $x_1,\ldots,x_n,$ то есть данная система имеет вид $\dot x = C,$ где $C\in\mathbb R^n,$ $x\in D.$Ко второму классу отнесем системы, не входящие в первый класс, для которых выполнено условие<<каждая из функций $f_i$ является возрастающей на множестве $D\subseteq\mathbb R^n$по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной $x_i,$ $i=1,\ldots,n$>>.Решения систем первого и второго классов обладают свойством монотонности относительно начальных условий.
К третьему классу отнесем системы, не входящие в первый класс, для которых выполнено условие<<каждая из функций $f_i$ является убывающей на множестве $D\subseteq\mathbb R^n$по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной $x_i,$ $i=1,\ldots,n$>>.
Получены условия отсутствия периодических решений для автономных систем второго порядка, дополняющие известные условия Бендиксона.Доказано, что системы двух дифференциальных уравнений всех трех указанных классов не могут иметь периодических решений.
We consider an autonomous system of differential equations$$\dot x =f(x), \quad \text {where} \quad x\in\mathbb R^n,$$the vector function $f(x)$ and its derivatives $\partial f_i/\partial x_j$ ($i,j=1,\ldots,n$) are continuous.Three classes of autonomous systems are identified and the properties that systems of each class possess are described.
We will assume that the system belongs to the first class on the set $D\subseteq\mathbb R^n,$ if the right parts of this systemdo not depend on varibles $x_1,\ldots,x_n,$ that is this system has the form $\dot x = C,$ where $C\in\mathbb R^n,$ $x\in D.$We will assign to the second class the systems that are not included in the first class, for which the next condition is met``each of the function $f_i$ is increasing on the set $D\subseteq\mathbb R^n$with respect to all variables on which it explicitly depends, with the exception of variable $x_i,$ $i=1,\ldots,n$''.Solutions of systems of the first and second classes have the property of monotonicity with respect to initial conditions.
We will assign to the third class the systems that are not included in the first class, for which the condition is met``each of the function $f_i$ is decreasing on the set $D\subseteq\mathbb R^n$with respect to all variables on which it explicitly depends, with the exception of variable $x_i,$ $i=1,\ldots,n$''.
The conditions for the absence of periodic solutions for autonomous systems of the second order are obtained, complementing the known Bendikson conditions. It is proved that systems of two differential equations of all three specified classes cannot haveperiodic solutions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.