mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2024-29-146-204-217mathematics-69Research ArticleСТАТЬИARTICLESАльфа-множества и их оболочки: аналитические взаимосвязи в плоском случаеAlpha sets and their hulls: analytical relationships in the plane casehttps://orcid.org/0000-0003-0725-4233УспенскийАлександр АлександровичUspenskiiAlexander A.uspen@imm.uran.ruhttps://orcid.org/0000-0002-1693-3476ЛебедевПавел ДмитриевичLebedevPavel D.pleb@yandex.ruФГБУН «Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского» Уральского отделения Российской академии наукРоссияN. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of SciencesRussian Federation20242606202429146204217Copyright © Успенский А.А., Лебедев П.Д., 20242024Успенский А.А., Лебедев П.Д.Uspenskii A.A., Lebedev P.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/69

Рассмотрен класс замкнутых множеств двумерного евклидова пространства, в общем случае не являющихся чебышевскими множествами. Множества изучены с позиций двух известных определений, обобщающих классическое определение выпуклого множества. В рамках этих определений установлены аналитические взаимосвязи между параметрами, характеризующими невыпуклые множества. Найдены формула вычисления функции, определяющей степень невыпуклости замкнутого множества, и формула вычисления радиуса опорного шара. Указаны области приложения изучаемых конструкций в теории управления динамическими системами. Приведен иллюстрирующий пример, в котором предъявлена процедура аналитического вычисления чебышевского слоя невыпуклого множества с разрывной кривизной его границы.

The class of closed sets of two-dimensional Euclidean space that are not Chebyshev sets in common case is considered. Sets are studied from the standpoint of two well-known definitions that generalize the classical definition of a convex set. Within the framework of these definitions, analytical relationships are established between the parameters characterizing non-convex sets. A formula for calculating the function that determines the degree of non-convexity of a closed set, and a formula for calculating the radius of the support ball are found. The areas of application of the studied structures in the theory of control of dynamic systems are indicated. An illustrative example is given in which a procedure for analytical calculating the Chebyshev layer of a non-convex set with discontinuous curvature of its boundary is proposed.

альфа-множествооболочка множестваметрическая проекциямера невыпуклостибиссектриса множестваопорный шарчебышевский слойуправлениеalpha sethull of a setmetric projectionmeasure of non-convexitybisector of a setsupport ballChebyshev layercontrolИсследование первого автора выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 24-21-00424, https://rscf.ru/project/24-21-00424/https://rscf.ru/project/24-21-00424/)This research of the first author was supported by the Russian Science Foundation (project no. 24-21-00424, https://rscf.ru/en/project/24-21-00424/https://rscf.ru/en/project/24-21-00424/)ReferencesА. А. Успенский, В. Н. Ушаков, А. Н. Фомин, -множества и их свойства, Деп. в ВИНИТИ 02.04.04 № 543–В2004, Ин-т математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, 2004, 62 с. [A. A. Uspenskii, V. N. Ushakov, A. N. Fomin, -sets and Their Properties, Dep. in VINITI 04.02.04 No. 543–B2004, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg, 2004, 62 pp.]А. А. Успенский, В. Н. Ушаков, А. Н. Фомин, -множества и их свойства, Деп. в ВИНИТИ 02.04.04 № 543–В2004, Ин-т математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, 2004, 62 с. [A. A. Uspenskii, V. N. Ushakov, A. N. Fomin, -sets and Their Properties, Dep. in VINITI 04.02.04 No. 543–B2004, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg, 2004, 62 pp.]Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, “Опорные свойства множеств в банаховых пространствах и чебышевские множества”, ДАН СССР, 127:2 (1959), 254–257. [N. V. Efimov, S. B. Stechkin, “Support properties of sets in Banach spaces and Chebyshev sets”, DAN USSR, 127:2 (1959), 254–257 (In Russian)].Н. В. Ефимов, С. Б. Стечкин, “Опорные свойства множеств в банаховых пространствах и чебышевские множества”, ДАН СССР, 127:2 (1959), 254–257. [N. V. Efimov, S. B. Stechkin, “Support properties of sets in Banach spaces and Chebyshev sets”, DAN USSR, 127:2 (1959), 254–257 (In Russian)].Л. П. Власов, “Чебышевские множества и некоторые их обобщения”, Матем. заметки, 3:1 (1968), 59–69; англ. пер.: L. P. Vlasov, “Chebyshev sets and some generalizations of them”, Math. Notes, 3:1 (1968) 36–41.Л. П. Власов, “Чебышевские множества и некоторые их обобщения”, Матем. заметки, 3:1 (1968), 59–69; англ. пер.: L. P. Vlasov, “Chebyshev sets and some generalizations of them”, Math. Notes, 3:1 (1968) 36–41.Г. А. Иванов, Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения, Физматлит, М., 2006. [G. A. Ivanov, Weakly Convex Sets and Functions: Theory and Applications, Fizmatlit Publ., Moscow, 2006 (In Russian)].Г. А. Иванов, Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения, Физматлит, М., 2006. [G. A. Ivanov, Weakly Convex Sets and Functions: Theory and Applications, Fizmatlit Publ., Moscow, 2006 (In Russian)].М. В. Балашов, Е. Е. Иванов, “Свойства метрической проекции на множество, слабо выпуклое по Виалю, и параметризация многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями”, Матем. заметки, 80:4 (2006), 483–489; англ. пер.: M. V. Balashov, G. E. Ivanov, “Properties of the metric projection on weakly vial-convex sets and parametrization of set-valued mappings with weakly convex images”, Math. Notes, 80:4 (2006), 461–467.М. В. Балашов, Е. Е. Иванов, “Свойства метрической проекции на множество, слабо выпуклое по Виалю, и параметризация многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями”, Матем. заметки, 80:4 (2006), 483–489; англ. пер.: M. V. Balashov, G. E. Ivanov, “Properties of the metric projection on weakly vial-convex sets and parametrization of set-valued mappings with weakly convex images”, Math. Notes, 80:4 (2006), 461–467.М. В. Балашов, “Условие Липшица метрической проекции в гильбертовом пространстве”, Фундамент. и прикл. матем., 22:1 (2018), 13–29. [M. V. Balashov, “The Lipschitz property of the metric projection in the Hilbert space”, Fundam. Prikl. Mat., 22:1 (2018), 13–29 (In Russian)].М. В. Балашов, “Условие Липшица метрической проекции в гильбертовом пространстве”, Фундамент. и прикл. матем., 22:1 (2018), 13–29. [M. V. Balashov, “The Lipschitz property of the metric projection in the Hilbert space”, Fundam. Prikl. Mat., 22:1 (2018), 13–29 (In Russian)].А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1(427) (2016), 3–84; англ. пер.: A. R. Alimov, I. G. Tsar’kov, “Connectedness and solarity in problems of best and near-best approximation”, Russian Math. Surveys, 71:1 (2016), 1–77.А. Р. Алимов, И. Г. Царьков, “Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения”, УМН, 71:1(427) (2016), 3–84; англ. пер.: A. R. Alimov, I. G. Tsar’kov, “Connectedness and solarity in problems of best and near-best approximation”, Russian Math. Surveys, 71:1 (2016), 1–77.A. A. Uspenskii, P. D. Lebedev, “On the set of limit values of local diffeomorphisms in wavefront evolution”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 272:1 (2011), 255–270.A. A. Uspenskii, P. D. Lebedev, “On the set of limit values of local diffeomorphisms in wavefront evolution”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 272:1 (2011), 255–270.В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, “Альфа-множества в конечномерных евклидовых пространствах и их свойства”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 26:1 (2016), 95–120. [V. N. Ushakov, A. A. Uspenskii, “ -sets in finite dimensional Euclidean spaces and their properties”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 26:1 (2016), 95–120 (In Russian)].В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, “Альфа-множества в конечномерных евклидовых пространствах и их свойства”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 26:1 (2016), 95–120. [V. N. Ushakov, A. A. Uspenskii, “ -sets in finite dimensional Euclidean spaces and their properties”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 26:1 (2016), 95–120 (In Russian)].П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Элементы аналитического конструктора решений в классе задач управления по быстродействию с целевым множеством с разрывной кривизной границы”, Вестник российских университетов. Математика, 25:132 (2020), 370–386. [P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, “Elements of analytical solutions constructor in a class of time-optimal control problems with the break of curvature of a target set”, Russian Universities Reports. Mathematics, 25:132 (2020), 370–386].П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Элементы аналитического конструктора решений в классе задач управления по быстродействию с целевым множеством с разрывной кривизной границы”, Вестник российских университетов. Математика, 25:132 (2020), 370–386. [P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, “Elements of analytical solutions constructor in a class of time-optimal control problems with the break of curvature of a target set”, Russian Universities Reports. Mathematics, 25:132 (2020), 370–386].А. А. Успенский, П. Д. Лебедев, “Выявление сингулярности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнений типа эйконала в условиях минимальной гладкости границы краевого множества”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 28:1 (2018), 59–73. [P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, “Elements of analytical solutions constructor in a class of time-optimal control problems with the break of curvature of a target set”, Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 25:132 (2020), 370–386 (In Russian)].А. А. Успенский, П. Д. Лебедев, “Выявление сингулярности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнений типа эйконала в условиях минимальной гладкости границы краевого множества”, Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 28:1 (2018), 59–73. [P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, “Elements of analytical solutions constructor in a class of time-optimal control problems with the break of curvature of a target set”, Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 25:132 (2020), 370–386 (In Russian)].В. Н. Ушаков, А. А. Ершов, А. Р. Матвийчук, “Об оценке степени невыпуклости множеств достижимости управляемых систем”, Оптимальное управление и дифференциальные игры, Сборник статей, Труды МИАН, 315, МИАН, М., 2021, 261–270; англ. пер.: V. N. Ushakov, A. A. Ershov, A. R. Matviychuk, “On estimating the degree of nonconvexity of reachable sets of control systems”, Proc. Steklov Inst. Math., 315 (2021), 247–256.В. Н. Ушаков, А. А. Ершов, А. Р. Матвийчук, “Об оценке степени невыпуклости множеств достижимости управляемых систем”, Оптимальное управление и дифференциальные игры, Сборник статей, Труды МИАН, 315, МИАН, М., 2021, 261–270; англ. пер.: V. N. Ushakov, A. A. Ershov, A. R. Matviychuk, “On estimating the degree of nonconvexity of reachable sets of control systems”, Proc. Steklov Inst. Math., 315 (2021), 247–256.Т. Брекер, Л. Ландер, Дифференцируемые ростки и катастрофы, Мир, М., 1977. [T. Brecker, L. Lander, Differentiable Germs and Catastrophes, Mir Publ., Moscow, 1977 (In Russian)].Т. Брекер, Л. Ландер, Дифференцируемые ростки и катастрофы, Мир, М., 1977. [T. Brecker, L. Lander, Differentiable Germs and Catastrophes, Mir Publ., Moscow, 1977 (In Russian)].А. А. Успенский, “Формулы исчисления негладких особенностей функции оптимального результата в задаче быстродействия”, Тр. ИММ УрО РАН, 20, 2014, 276–290; англ. пер.: A. A. Uspenskii, “Calculation formulas for nonsmooth singularities of the optimal result function in a time-optimal problem”, Proc. Steklov Inst. Math., 291, suppl. 1:3 (2015), 239–254.А. А. Успенский, “Формулы исчисления негладких особенностей функции оптимального результата в задаче быстродействия”, Тр. ИММ УрО РАН, 20, 2014, 276–290; англ. пер.: A. A. Uspenskii, “Calculation formulas for nonsmooth singularities of the optimal result function in a time-optimal problem”, Proc. Steklov Inst. Math., 291, suppl. 1:3 (2015), 239–254.V. D. Sedykh, “On the topology of symmetry sets of smooth submanifolds in ”, Advanced Studies in Pure Mathematics, 43, Singularity Theory and Its Applications (2006), 401–419.V. D. Sedykh, “On the topology of symmetry sets of smooth submanifolds in ”, Advanced Studies in Pure Mathematics, 43, Singularity Theory and Its Applications (2006), 401–419.М. И. Карлов, “Чебышевский слой многообразий в гильбертовом пространстве”, Теория приближений. Гармонический анализ, Сборник статей, посвященный памяти профессора Сергея Борисовича Стечкина, Труды МИАН, 219, Наука, МАИК «Наука», М., 1997, 235–248; англ. пер.: M. I. Karlov, “Chebyshev layer of manifolds in a Hilbert space”, Proc. Steklov Inst. Math., 219 (1997), 231–244.М. И. Карлов, “Чебышевский слой многообразий в гильбертовом пространстве”, Теория приближений. Гармонический анализ, Сборник статей, посвященный памяти профессора Сергея Борисовича Стечкина, Труды МИАН, 219, Наука, МАИК «Наука», М., 1997, 235–248; англ. пер.: M. I. Karlov, “Chebyshev layer of manifolds in a Hilbert space”, Proc. Steklov Inst. Math., 219 (1997), 231–244.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.