В статье рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой выделена главная нелинейная часть, являющаяся квазиоднородным отображением. Исследуется вопрос о существовании периодических решений. Рассмотрение квазиоднородного отображения позволяет обобщить ранее известные результаты о существовании периодических решений для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с главной положительно однородной нелинейностью. Доказана априорная оценка периодических решений в предположении, что соответствующая невозмущенная система уравнений с квазиоднородной правой частью не имеет ненулевых ограниченных решений. В условиях априорной оценки получены следующие результаты: 1) доказана инвариантность существования периодических решений при непрерывном изменении (гомотопии) главной квазиоднородной нелинейной части; 2) решена задача гомотопической классификации двумерных квазиоднородных отображений, удовлетворяющих условиям априорной оценки; 3) доказан критерий существования периодических решений для двумерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с главной квазиоднородной нелинейностью.
The article considers a system of ordinary differential equations in which the main nonlinear part, which is a quasi-homogeneous mapping, is distinguished. The question of the existence of periodic solutions is investigated. Consideration of a quasi-homogeneous mapping allows us to generalize previously known results on the existence of periodic solutions for a system of ordinary differential equations with the main positively homogeneous non-linearity. An a priori estimate for periodic solutions is proved under the condition that the corresponding unperturbed system of equations with a quasi-homogeneous right-hand side does not have non-zero bounded solutions. Under the conditions of an a priori estimate, the following results were obtained: 1) the invariance of the existence of periodic solutions under continuous change (homotopy) of the main quasi-homogeneous non-linear part was proved; 2) the problem of homotopy classification of two-dimensional quasi-homogeneous mappings satisfying the a priori estimation condition has been solved; 3) a criterion for the existence of periodic solutions for a two-dimensional system of ordinary differential equations with the main quasi-homogeneous non-linearity is proved.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.