mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2024-29-147-352-376mathematics-78Research ArticleСТАТЬИARTICLESНекоторые вопросы, связанные с реализацией множеств притяжения с точностью до наперед заданной окрестностиSome questions connected with implementation of attraction sets accurate to a predetermined neighborhoodhttps://orcid.org/0000-0001-6568-0703ЧенцовАлександр ГеоргиевичChentsovAleksandr G.chentsov@imm.uran.ruФГБУН «Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского» Уральского отделения Российской академии наук; ФГАОУ ВО «Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина»РоссияN. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences; Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. YeltsinRussian Federation20242512202429147352376Copyright © Ченцов А.Г., 20242024Ченцов А.Г.Chentsov A.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/78

Рассматриваются вопросы, связанные с реализацией множеств притяжения (МП) в абстрактных задачах о достижимости с ограничениями асимптотического характера (ОАХ). Исследуется возможность реализации МП с точностью до произвольной окрестности в классе замыканий множеств достижимости, отвечающих конкретным множествам семейства, порождающего ОАХ. Кроме того, рассматриваются некоторые соотношения для МП, порождаемых различными ОАХ (исследуются условия дизъюнктности МП). Общие конструкции окрестностной реализации МП были применены в случае, когда данные МП рассматривались в пространстве ультрафильтров (у/ф) широко понимаемого измеримого пространства (ИП). В частности, детально исследовался случай, когда ОАХ определяются посредством фильтра; для данного случая, при неограничительных условиях на исходное ИП, в виде МП реализуется множество всех у/ф, мажорирующих исходный фильтр. В данном случае (пространства у/ф) отдельно исследовались варианты оснащения множества у/ф топологиями стоуновского и волмэновского типов.

Questions connected with implementation of attraction sets (AS) in attainability problem with constraints of asymptotic nature (CAN) are considered. It is investigated the possibility of AS implementation accurate to arbitrary neighborhood in class of closures of attainability sets corresponding to concrete sets from the family generating CAN. Moreover, some relations for AS generated by different CAN are considered (disjunction conditions of AS are investigated). General constructions of neighborhood implementation of AS were applied in the case when these AS were considered in the space of ultrafilters of broadly understood measurable space (MS). In particular, the case when CAN are defined by a filter was investigated in detail; for this case, under non-restrictive conditions on the original MS, the set of ultrafilters majorizing the original filter is implemented as AS. In this case (of ultrafilter space) variants of equipment of ultrafilter set with topologies of Stone and Wallman types are investigated separately.

множество притяженияограничение асимптотического характераокрестностьтопологияattraction setconstraints of asymptotic natureneighborhoodtopologyReferencesА. Г. Ченцов, “О топологических свойствах множества притяжения в пространстве ультрафильтров”, Вестник российских университетов. Математика, 23:143 (2023), 335–356. [A. G. Chentsov, “About topological properties of attraction set in ultrafilter space”, Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 28:143 (2023), 335–356 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “О топологических свойствах множества притяжения в пространстве ультрафильтров”, Вестник российских университетов. Математика, 23:143 (2023), 335–356. [A. G. Chentsov, “About topological properties of attraction set in ultrafilter space”, Vestnik rossiyskikh universitetov. Matematika = Russian Universities Reports. Mathematics, 28:143 (2023), 335–356 (In Russian)].А. Г. Ченцов, А. П. Бакланов, “Об одной задаче асимптотического анализа, связанной с построением области достижимости”, Оптимальное управление, Сборник статей. К 105-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 291, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 292–311; англ. пер.:A. G. Chentsov, A. P. Baklanov, “On an asymptotic analysis problem related to the construction of an attainability domain”, Proc. Steklov Inst. Math., 291 (2015), 279–298.А. Г. Ченцов, А. П. Бакланов, “Об одной задаче асимптотического анализа, связанной с построением области достижимости”, Оптимальное управление, Сборник статей. К 105-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 291, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 292–311; англ. пер.:A. G. Chentsov, A. P. Baklanov, “On an asymptotic analysis problem related to the construction of an attainability domain”, Proc. Steklov Inst. Math., 291 (2015), 279–298.А. Г. Ченцов, А. П. Бакланов, “Об одной задаче, связанной с асимптотической достижимостью в среднем”, Доклады РАН, 459:6 (2014), 672–676; англ. пер.:A. G. Chentsov, A. P. Baklanov, “A problem related to asymptotic attainability in the mean”, Dokl. Math., 90 (2014), 762–765.А. Г. Ченцов, А. П. Бакланов, “Об одной задаче, связанной с асимптотической достижимостью в среднем”, Доклады РАН, 459:6 (2014), 672–676; англ. пер.:A. G. Chentsov, A. P. Baklanov, “A problem related to asymptotic attainability in the mean”, Dokl. Math., 90 (2014), 762–765.Н. Н. Красовский, Теория управления движением, Наука, М., 1986. [N. N. Krasovsky, Motion Control Theory, Nauka Publ., M., 1986 (In Russian)].Н. Н. Красовский, Теория управления движением, Наука, М., 1986. [N. N. Krasovsky, Motion Control Theory, Nauka Publ., M., 1986 (In Russian)].Н. Н. Красовский, Игровые задачи о встрече движений, Наука, М., 1970. [N. N. Krasovsky, Game Problems About Meeting of Movements, Nauka Publ., Moscow, 1970 (In Russian)].Н. Н. Красовский, Игровые задачи о встрече движений, Наука, М., 1970. [N. N. Krasovsky, Game Problems About Meeting of Movements, Nauka Publ., Moscow, 1970 (In Russian)].А. И. Панасюк, В. И. Панасюк, Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем, Наука и техника, Минск, 1986. [A. I. Panasyuk, V. I. Panasyuk, Asymptotic Turnpike Optimization of Control Systems, Science and Technology Publ., Minsk, 1986 (In Russian)].А. И. Панасюк, В. И. Панасюк, Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем, Наука и техника, Минск, 1986. [A. I. Panasyuk, V. I. Panasyuk, Asymptotic Turnpike Optimization of Control Systems, Science and Technology Publ., Minsk, 1986 (In Russian)].Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнения ми, Наука, М., 1977, 624 с. [J. Varga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Nauka Publ., Moscow, 1977 (In Russian), 624 pp.]Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнения ми, Наука, М., 1977, 624 с. [J. Varga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Nauka Publ., Moscow, 1977 (In Russian), 624 pp.]A. G. Chentsov, S. I. Morina, Extensions and Relaxations, Mathematics and Its Applications, 542, Springer Dordrecht, Boston; London, 2002.A. G. Chentsov, S. I. Morina, Extensions and Relaxations, Mathematics and Its Applications, 542, Springer Dordrecht, Boston; London, 2002.Р. В. Гамкрелидзе, Основы оптимального управления, Издательство Тбилисского университета, Тбилиси, 1975. [R. V. Gamkrelidze, Fundamentals of Optimal Control, Tbilisi University Publishing House, Tbilisi, 1975 (In Russian)].Р. В. Гамкрелидзе, Основы оптимального управления, Издательство Тбилисского университета, Тбилиси, 1975. [R. V. Gamkrelidze, Fundamentals of Optimal Control, Tbilisi University Publishing House, Tbilisi, 1975 (In Russian)].Н. Н. Красовский, А. И. Субботин, “Альтернатива для игровой задачи сближения”, Прикладная математика и механика, 34:6 (1970), 1005–1022; англ. пер.:N. N. Krasovskii, A. I. Subbotin, “An alternative for the game problem of convergence”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 34:6 (1970), 948–965.Н. Н. Красовский, А. И. Субботин, “Альтернатива для игровой задачи сближения”, Прикладная математика и механика, 34:6 (1970), 1005–1022; англ. пер.:N. N. Krasovskii, A. I. Subbotin, “An alternative for the game problem of convergence”, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 34:6 (1970), 948–965.Н. Н. Красовский, А. И. Субботин, Позиционные дифференциальные игры, Наука, М., 1974. [N. N. Krasovsky, A. I. Subbotin, Positional Differential Games, Nauka Publ., Moscow, 1974 (In Russian)].Н. Н. Красовский, А. И. Субботин, Позиционные дифференциальные игры, Наука, М., 1974. [N. N. Krasovsky, A. I. Subbotin, Positional Differential Games, Nauka Publ., Moscow, 1974 (In Russian)].А. И. Субботин, А. Г. Ченцов, Оптимизация гарантии в задачах управления, Наука, М., 1981. [A. I. Subbotin, A. G. Chentsov, Optimization of Guarantee in Control Problems, Nauka Publ., Moscow, 1981 (In Russian)].А. И. Субботин, А. Г. Ченцов, Оптимизация гарантии в задачах управления, Наука, М., 1981. [A. I. Subbotin, A. G. Chentsov, Optimization of Guarantee in Control Problems, Nauka Publ., Moscow, 1981 (In Russian)].A. G. Chentsov, Asymptotic Attainability, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht–Boston–London, 1997.A. G. Chentsov, Asymptotic Attainability, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht–Boston–London, 1997.A. G. Chentsov, Finitely Additive Measures and Relaxations of Extremal Problems, Plenum, New York, 1996.A. G. Chentsov, Finitely Additive Measures and Relaxations of Extremal Problems, Plenum, New York, 1996.А. Г. Ченцов, “Ультрафильтры измеримых пространств как обобщенные решения в абстрактных задачах о достижимости”, Тр. ИММ УрО РАН, 17, № 1, 2011, 268–293; ан гл. пер.A. G. Chentsov, “Ultrafilters of measurable spaces as generalized solutions in abstract attainability problems”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 275:suppl. 1 (2011), 12–39.А. Г. Ченцов, “Ультрафильтры измеримых пространств как обобщенные решения в абстрактных задачах о достижимости”, Тр. ИММ УрО РАН, 17, № 1, 2011, 268–293; ан гл. пер.A. G. Chentsov, “Ultrafilters of measurable spaces as generalized solutions in abstract attainability problems”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 275:suppl. 1 (2011), 12–39.А. Г. Ченцов, “Фильтры и ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2011, № 1, 113–142. [A. G. Chentsov, “Filters and ultrafilters in the constructions of attraction sets”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2011, № 1, 113–142 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “Фильтры и ультрафильтры в конструкциях множеств притяжения”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2011, № 1, 113–142. [A. G. Chentsov, “Filters and ultrafilters in the constructions of attraction sets”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2011, № 1, 113–142 (In Russian)].К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств, Мир, М., 1970. [K. Kuratovsky, A. Mostovsky, Set Theory, Mir Publ., Moscow, 1970 (In Russian)].К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств, Мир, М., 1970. [K. Kuratovsky, A. Mostovsky, Set Theory, Mir Publ., Moscow, 1970 (In Russian)].А. Г. Ченцов, Элементы конечно-аддитивной теории меры. I, УГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2008, 388 с. [A. G. Chentsov, Elements of Finitely Additive Measure Theory. I, USTU-UPI, Ekaterinburg, 2008 (In Russian), 388 pp.]А. Г. Ченцов, Элементы конечно-аддитивной теории меры. I, УГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2008, 388 с. [A. G. Chentsov, Elements of Finitely Additive Measure Theory. I, USTU-UPI, Ekaterinburg, 2008 (In Russian), 388 pp.]А. В. Булинский, А. Н. Ширяев, Теория случайных процессов, Физматлит, М., 2005. [A. V. Bulinsky, A. N. Shiryaev, Theory of Random Processes, Fizmatlit Publ., Moscow, 2005 (In Russian)].А. В. Булинский, А. Н. Ширяев, Теория случайных процессов, Физматлит, М., 2005. [A. V. Bulinsky, A. N. Shiryaev, Theory of Random Processes, Fizmatlit Publ., Moscow, 2005 (In Russian)].Ж. Невё, Математические основы теории вероятностей, Мир, М., 1969. [J. Neve, Mathematical Foundations of Probability Theory, Mir Publ., Moscow, 1969 (In Russian)].Ж. Невё, Математические основы теории вероятностей, Мир, М., 1969. [J. Neve, Mathematical Foundations of Probability Theory, Mir Publ., Moscow, 1969 (In Russian)].Н. Бурбаки, Общая топология. Основные структуры, Наука, М., 1968, 279 с. [N. Bourbaki, General Topology. Basic Structures, Nauka Publ., Moscow, 1968 (In Russian), 279 pp.]Н. Бурбаки, Общая топология. Основные структуры, Наука, М., 1968, 279 с. [N. Bourbaki, General Topology. Basic Structures, Nauka Publ., Moscow, 1968 (In Russian), 279 pp.]Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян, Общая топология, Высшая школа, М., 1979. [R. A. Alexandryan, E. A. Mirzakhanyan, General Topology, Higher School Publ., Moscow, 1979 (In Russian)].Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян, Общая топология, Высшая школа, М., 1979. [R. A. Alexandryan, E. A. Mirzakhanyan, General Topology, Higher School Publ., Moscow, 1979 (In Russian)].Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986. [R. Engelking, General Topology, Mir Publ., Moscow, 1986 (In Russian)].Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986. [R. Engelking, General Topology, Mir Publ., Moscow, 1986 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “Замкнутые отображения и построение моделей расширения”, Тр. ИММ УрО РАН, 29, 2023, 274–295; англ. пер.:A. G. Chentsov, “Closed mappings and construction of extension models”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 323:suppl. 1 (2023), 56–77.А. Г. Ченцов, “Замкнутые отображения и построение моделей расширения”, Тр. ИММ УрО РАН, 29, 2023, 274–295; англ. пер.:A. G. Chentsov, “Closed mappings and construction of extension models”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 323:suppl. 1 (2023), 56–77.А. G. Chentsov, E. G. Pytkeev, “Constraints of asymptotic nature and attainability problems”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 29:4 (2019), 569–582. [A. G. Chentsov, E. G. Pytkeev, “Constraints of asymptotic nature and attainability problems”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 29:4 (2019), 569–582 (In Russian)].А. G. Chentsov, E. G. Pytkeev, “Constraints of asymptotic nature and attainability problems”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 29:4 (2019), 569–582. [A. G. Chentsov, E. G. Pytkeev, “Constraints of asymptotic nature and attainability problems”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 29:4 (2019), 569–582 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “Компактификаторы в конструкциях расширений задач о достижимости с ограничениями асимптотического характера”, Тр. ИММ УрО РАН, 22, № 1, 2016, 294–309; англ. пер.:A. G. Chentsov, “Compactifiers in extension constructions for reachability problems with constraints of asymptotic nature”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 296:suppl. 1 (2017), 102– 118.А. Г. Ченцов, “Компактификаторы в конструкциях расширений задач о достижимости с ограничениями асимптотического характера”, Тр. ИММ УрО РАН, 22, № 1, 2016, 294–309; англ. пер.:A. G. Chentsov, “Compactifiers in extension constructions for reachability problems with constraints of asymptotic nature”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 296:suppl. 1 (2017), 102– 118.А. Г. Ченцов, “Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы: основные свойства и топологические конструкции”, Известия института математики и информатики УдГУ, 52 (2018), 86–102. [A. G. Chentsov, “Ultrafilters and maximal linked systems: basic properties and topological constructions”, Izv. IMI UdGU, 52 (2018), 86–102 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы: основные свойства и топологические конструкции”, Известия института математики и информатики УдГУ, 52 (2018), 86–102. [A. G. Chentsov, “Ultrafilters and maximal linked systems: basic properties and topological constructions”, Izv. IMI UdGU, 52 (2018), 86–102 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “Ярусные отображения и преобразования на основе ультрафильтров”, Тр. ИММ УрО РАН, 18, № 4, 2012, 298–314. [A. G. Chentsov, “Tier mappings and ultrafilter-based transformations”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 18, no. 4, 2012, 298–314 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “Ярусные отображения и преобразования на основе ультрафильтров”, Тр. ИММ УрО РАН, 18, № 4, 2012, 298–314. [A. G. Chentsov, “Tier mappings and ultrafilter-based transformations”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 18, no. 4, 2012, 298–314 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем”, Выпуск посвящен 70-летнему юбилею Александра Георгиевича Ченцова, Тр. ИММ УрО РАН, 24, 2018, 257–272; англ. пер.:A. G. Chentsov, “Bitopological spaces of ultrafilters and maximal linked systems”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 305:suppl. 1 (2019), S24–S39.А. Г. Ченцов, “Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем”, Выпуск посвящен 70-летнему юбилею Александра Георгиевича Ченцова, Тр. ИММ УрО РАН, 24, 2018, 257–272; англ. пер.:A. G. Chentsov, “Bitopological spaces of ultrafilters and maximal linked systems”, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 305:suppl. 1 (2019), S24–S39.А. Г. Ченцов, “Некоторые свойства ультрафильтров, связанные с конструкциями расширений”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 1 (2014), 87–101. [A. G. Chentsov, “Some ultrafilter properties connected with extension constructions”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2014, № 1, 87–101 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “Некоторые свойства ультрафильтров, связанные с конструкциями расширений”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 1 (2014), 87–101. [A. G. Chentsov, “Some ultrafilter properties connected with extension constructions”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2014, № 1, 87–101 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “К вопросу о реализации элементов притяжения в абстрактных задачах о достижимости”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 25:2 (2015), 212–229. [A. G. Chentsov, “To question about realization of attraction elements in abstract attainability problems”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 25:2 (2015), 212–229 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “К вопросу о реализации элементов притяжения в абстрактных задачах о достижимости”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 25:2 (2015), 212–229. [A. G. Chentsov, “To question about realization of attraction elements in abstract attainability problems”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 25:2 (2015), 212–229 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “О суперкомпактности пространства ультрафильтров с топологией волмэновского типа”, Известия института математики и информатики УдГУ, 54 (2019), 74–101. [A. G. Chentsov, “On the supercompactness of ultrafilter space with the topology of Wallman type”, Izv. IMI UdGU, 54 (2019), 74–101 (In Russian)].А. Г. Ченцов, “О суперкомпактности пространства ультрафильтров с топологией волмэновского типа”, Известия института математики и информатики УдГУ, 54 (2019), 74–101. [A. G. Chentsov, “On the supercompactness of ultrafilter space with the topology of Wallman type”, Izv. IMI UdGU, 54 (2019), 74–101 (In Russian)].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.