mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2024-29-148-440-454mathematics-83Research ArticleСТАТЬИARTICLESКомпактная схема для решения супердиффузионного уравненияA compact scheme for solving a superdiffusion equationhttps://orcid.org/0000-0002-4042-6079ПименовВладимир ГермановичPimenovVladimir G.v.g.pimenov@urfu.ruhttps://orcid.org/0000-0003-0176-1306ЛекомцевАндрей ВалентиновичLekomtsevAndrei V.avlekomtsev@urfu.ruФГАОУ ВО «Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина»; ФГБУН «Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского» Уральского отделения Российской академии наукРоссияUral Federal University named after the first President of Russia B. N. Yeltsin; N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of SciencesRussian FederationФГАОУ ВО «Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина»РоссияUral Federal University named after the first President of Russia B. N. YeltsinRussian Federation20242512202429148440454Copyright © Пименов В.Г., Лекомцев А.В., 20242024Пименов В.Г., Лекомцев А.В.Pimenov V.G., Lekomtsev A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/83

Рассматривается супердиффузионное уравнение с дробными производными Рисса по пространству с несколькими переменными запаздываниями. Производится дискретизация задачи. По времени конструируется аналог разностного метода Кранка–Николсон с кусочно-линейной интерполяцией для учета эффекта переменного запаздывания и с экстраполяцией продолжением для того, чтобы неявность метода стала конечномерной. По пространству конструируется аналог компактной схемы со специальной заменой дробных производных Рисса дробными центральными разностями. В результате метод сводится к решению на каждом шаге времени системы линейных алгебраических уравнений с симметричной и положительно определенной главной матрицей. Изучается порядок малости относительно шагов дискретизации по времени и пространству h невязки метода без интерполяции и с интерполяцией, он равен . Основной результат состоит в доказательстве того, что метод сходится с порядком в энергетической и компактной норме послойного вектора погрешности. Приводятся результаты тестовых примеров для супердиффузионных уравнений с постоянным и переменным запаздываниями. Вычислимые порядки сходимости по каждому шагу дискретизации в примерах оказались близки к теоретически полученным порядкам сходимости по соответствующим шагам дискретизации.

A superdiffusion equation with Riesz fractional derivatives with respect to space with several delay variables is considered. The problem is discretized. For this purpose, an analog of the Crank–Nicolson difference method with piecewise linear interpolation to account for the effect of variable delay and with extrapolation by continuation is constructed in time so that the implicitness of the method becomes finite-dimensional. An analog of a compact scheme with a special replacement of Riesz fractional derivatives by fractional central differences is constructed in space. As a result, the method is reduced to solving a system of linear algebraic equations with symmetric and positive-definite main matrix at each time step. The order of smallness with respect to the discretization time-steps and space-steps h of the residual of the method without interpolation and with interpolation is studied; it is equal to . The main result consists in proving that the method converges with the order in the energy and compact norm of the layered error vector. The results of test examples for superdiffusion equations with constant and variable delay are presented. The computable orders of convergence for each discretization step in the examples turned out to be close to the theoretically obtained orders of convergence for the corresponding discretization steps.

уравнение супердиффузиинесколько переменных запаздыванийкомпактная схемакусочно-линейная интерполяцияsuperdiffusion equationseveral variable delayscompact schemepiecewise linear interpolationReferencesJ. Wu, Theory and Application of Partial Functional Differential Equations, Springer–Verlag, New York, 1996.J. Wu, Theory and Application of Partial Functional Differential Equations, Springer–Verlag, New York, 1996.A. D. Polyanin, V. G. Sorokin, A. I. Zhurov, Delay Ordinary and Partial Differential Equations, CRC Press, Boca Raton, 2023.A. D. Polyanin, V. G. Sorokin, A. I. Zhurov, Delay Ordinary and Partial Differential Equations, CRC Press, Boca Raton, 2023.Z. Kamont, K. Kropielnicka, “Implicit difference methods for evolution functional differential equations”, Numerical Analysis and Applications, 4:4 (2011), 294–308.Z. Kamont, K. Kropielnicka, “Implicit difference methods for evolution functional differential equations”, Numerical Analysis and Applications, 4:4 (2011), 294–308.В. Г. Пименов, Разностные методы решения уравнений в частных производных с на¬следственностью, Изд-во Уральского университета, Екатеринбург, 2014. [V. G. Pimenov, Difference Methods for Solving Partial Differential Equations with Heredity, Publishing House of the Ural University, Yekaterinburg, 2014 (In Russian)].В. Г. Пименов, Разностные методы решения уравнений в частных производных с на¬следственностью, Изд-во Уральского университета, Екатеринбург, 2014. [V. G. Pimenov, Difference Methods for Solving Partial Differential Equations with Heredity, Publishing House of the Ural University, Yekaterinburg, 2014 (In Russian)].M. M. Meerschaert, C. Tadjeran, “Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations”, Applied Numerical Mathematics, 56:1 (2006), 80–90.M. M. Meerschaert, C. Tadjeran, “Finite difference approximations for two-sided space-fractional partial differential equations”, Applied Numerical Mathematics, 56:1 (2006), 80–90.C. Tadjeran, M. M. Meerschaert, H. P. Scheffler, “A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation”, Journal of Computational Physics, 213:1 (2006), 205–213.C. Tadjeran, M. M. Meerschaert, H. P. Scheffler, “A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation”, Journal of Computational Physics, 213:1 (2006), 205–213.C. Celik, M. Duman, “Crank–Nicolson method for the fractional diffusion equation with the Riesz fractional derivative”, Journal of Computational Physics, 231:4 (2012), 1743–1750.C. Celik, M. Duman, “Crank–Nicolson method for the fractional diffusion equation with the Riesz fractional derivative”, Journal of Computational Physics, 231:4 (2012), 1743–1750.W. Tian, H. Zhou, W. Deng, “A class of second order difference approximations for solving space fractional diffusion equations”, Mathematics of Computation, 84 (2015), 1703–1727.W. Tian, H. Zhou, W. Deng, “A class of second order difference approximations for solving space fractional diffusion equations”, Mathematics of Computation, 84 (2015), 1703–1727.V. G. Pimenov, A. S. Hendy, “A fractional analog of Crank-Nicholson method for the two sided space fractional partial equation with functional delay”, Ural Mathematical Journal, 2:1 (2016), 48–57.V. G. Pimenov, A. S. Hendy, “A fractional analog of Crank-Nicholson method for the two sided space fractional partial equation with functional delay”, Ural Mathematical Journal, 2:1 (2016), 48–57.M. Ibrahim, V. G. Pimenov, “Crank–Nicolson scheme for two-dimensional in space fractional diffusion equations with functional delay”, Izv. IMI UdGU, 57 (2021), 128–141.M. Ibrahim, V. G. Pimenov, “Crank–Nicolson scheme for two-dimensional in space fractional diffusion equations with functional delay”, Izv. IMI UdGU, 57 (2021), 128–141.В. Г. Пименов, А. Б. Ложников, “Асимптотическое разложение погрешности численного ме¬тода для решения супердиффузионного уравнения с функциональным запаздыванием”, Тр. ИММ УрО РАН, 30, №2, 2024, 138–151. [V. G. Pimenov, A.B. Lozhnikov, “Asymptotic expansion of the error of a numerical method for solving a superdiffusion equation with functional delay”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 30, no. 2, 2024, 138–151 (In Russian)].В. Г. Пименов, А. Б. Ложников, “Асимптотическое разложение погрешности численного ме¬тода для решения супердиффузионного уравнения с функциональным запаздыванием”, Тр. ИММ УрО РАН, 30, №2, 2024, 138–151. [V. G. Pimenov, A.B. Lozhnikov, “Asymptotic expansion of the error of a numerical method for solving a superdiffusion equation with functional delay”, Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 30, no. 2, 2024, 138–151 (In Russian)].G. H. Gao, Z. Z. Sun, “A compact finite difference scheme for the fractional sub-diffusion equations”, Journal of Computational Physics, 230:3 (2011), 586–595.G. H. Gao, Z. Z. Sun, “A compact finite difference scheme for the fractional sub-diffusion equations”, Journal of Computational Physics, 230:3 (2011), 586–595.A. S. Hendy, J. E. Macias–Diaz, “A discrete Gronwall inequality and energy estimates in the analysis of a discrete model for a nonlinear time-fractional heat equation”, Mathematics, 8:9 (2020), 1–15.A. S. Hendy, J. E. Macias–Diaz, “A discrete Gronwall inequality and energy estimates in the analysis of a discrete model for a nonlinear time-fractional heat equation”, Mathematics, 8:9 (2020), 1–15.H. Sun, Z. Z. Sun, G. H. Gao, “Some high order difference schemes for the space and time fractional Bloch–Torrey equations”, Applied Mathematics and Computation, 281 (2016), 356–380.H. Sun, Z. Z. Sun, G. H. Gao, “Some high order difference schemes for the space and time fractional Bloch–Torrey equations”, Applied Mathematics and Computation, 281 (2016), 356–380.L. Li, B. Zhou, X. Chen, Z. Wang, “Convergence and stability of compact finite difference method for nonlinear time fractional reaction–diffusion equations with delay”, Applied Mathematics and Computation, 337 (2018), 144–152.L. Li, B. Zhou, X. Chen, Z. Wang, “Convergence and stability of compact finite difference method for nonlinear time fractional reaction–diffusion equations with delay”, Applied Mathematics and Computation, 337 (2018), 144–152.А. В. Ким, В. Г. Пименов, i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально¬дифференциальных уравнений, Регулярная и хаотическая динамика, Москва–Ижевск, 2004 [A. V. Kim, V. G. Pimenov, i-Smooth Analysis and Numerical Methods for Solving Functional Differential Equations, Regular and Chaotic Dynamics, Moscow–Izhevsk, 2004 (In Russian)].А. В. Ким, В. Г. Пименов, i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально¬дифференциальных уравнений, Регулярная и хаотическая динамика, Москва–Ижевск, 2004 [A. V. Kim, V. G. Pimenov, i-Smooth Analysis and Numerical Methods for Solving Functional Differential Equations, Regular and Chaotic Dynamics, Moscow–Izhevsk, 2004 (In Russian)].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.