Пусть $\Omega_0^r$ --- класс функций $\omega,$ голоморфных в единичном круге $\Delta,$ \linebreak с~дейст\-ви\-тельными коэффициентами, удовлетворяющих условиям $|\omega(z)|<1,$ $\omega(0)=0,$ $z\in\Delta.$ Проблема коэффициентов на классе $\Omega_0^r$ формулируется следующим образом: найти необходимые и достаточные условия, которые нужно наложить на действительные числа $\{\omega\}_1, \{\omega\}_2,\ldots,$ чтобы ряд $\{\omega\}_1 z+\{\omega\}_2 z^2+\ldots$ являлся рядом Тейлора некоторой функции класса $\Omega_0^r.$ Класс $B^r$ состоит из функций $f,$ голоморфных в $\Delta,$ с действительными коэффициентами, для которых выполняются условия $0<|f(z)|\leq 1,$ $z\in\Delta.$ Подклассы $B_t^r,$ $t\geq 0,$ определяются как множество функций $f\in B^r,$ нормированных условием $f(0)=e^{-t}.$ Задача точной оценки $|\{f\}_n|,$ $n\in\mathbb{N},$ на классах $B^r$ или $B_t^r$ известна как проблема Кшижа для соответствующего класса. Очевидно, объединение всех классов $B_t^r$ исчерпывает класс $B^r$ с точностью до вращений в плоскости переменной $w$ ($w=f(z)$). На основе решения проблемы коэффициентов для класса $\Omega_0^r$ решена задача точной оценки функционала $|\{f\}_3|$ на классах $B_t^r$ при каждом $t\geq 0.$ Для этого задача была сведена к задаче оценки функционала над классом $\Omega_0^r,$ после чего задача сведена к задаче о поиске глобального условного экстремума функции двух действительных переменных с~ограничениями типа неравенств. Экстремальные функции найдены в двух формах: в форме выпуклой комбинации ядер Шварца, связанной с классом Каратеодори, и в форме произведений Бляшке, связанной с классом $\Omega_0^r.$
Let $\Omega_0^r$ be a class of holomorphic functions $\omega$ in the unit disk $\Delta,$ with real coefficients, and such that $|\omega(z)|<1,$ $\omega(0)=0,$ $z\in\Delta.$ The coefficients problem in the class $\Omega_0^r$ is formulated as follows: find the necessary and sufficient conditions to be imposed on the real numbers $\{\omega\}_1, \{\omega\}_2,\ldots$ in order for the series $\{\omega\}_1 z+\{\omega\}_2 z^2+\ldots$ to be the Taylor series of a function in the class $\Omega_0^r.$ The class $B^r$ consists of holomorphic functions $f$ in $\Delta$ with real coefficients and such that $0<|f(z)|\leq 1,$ $z\in\Delta.$ The classes $B_t^r,$ $t\geq 0,$ are defined as the sets of functions $f\in B^r$ such that $f(0)=e^{-t}.$ The problem of obtaining a sharp estimation of $|\{f\}_n|,$ $n\in\mathbb N,$ on the class $B^r$ or $B_t^r$ is commonly referred to as the Krzyz problem (for the class $B^r$ or $B_t^r$). It~is clear that the union of all classes $B_t^r$ exhausts the class $B^r$ up to rotations in the plane of variable $w$ ($w=f(z)$). Based on the solution of the coefficients problem for the class $\Omega_0^r,$ the problem of obtaining a sharp estimation of the functional $|\{f\}_3|$ on the classes $B_t^r$ for every $t\geq 0$ is solved by transitioning to the functional over the class $\Omega_0^r,$ after which the problem is reduced to finding the global constrained extremum of a function of two real variables with inequality-type constraints. The extreme functions are found in two forms: as a convex combination of Schwartz kernels related to the Caratheodory class, and as Blaschke products related to the class $\Omega_0^r.$
The authors declare that there are no conflicts of interest present.