mathematicsВестник российских университетов. МатематикаRussian Universities Reports. Mathematics2686-96672782-3342Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина10.20310/2686-9667-2025-30-150-170-182mathematics-98Research ArticleНАУЧНЫЕ СТАТЬИORIGINAL ARTICLESОб асимптотическом поведении решений неавтономных дифференциальных включений с набором нескольких функций ЛяпуноваOn the asymptotic behavior of solutions of nonautonomous differential inclusions with a set of several Lyapunov functionshttps://orcid.org/0000-0001-6821-3385ФиногенкоИван АнатольевичFinogenkoIvan A.fin@icc.ruФГБУН «Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН»РоссияV.M. Matrosov Institute of System Dynamics and Control Theory SB RASRussian Federation20252606202530150170182Copyright © Финогенко И.А., 20252025Финогенко И.А.Finogenko I.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mathematics.elpub.ru/jour/article/view/98

Для неавтономных дифференциальных включений рассматриваются вопросы притяжения и асимптотического поведения решений. Основой исследований служит развитие метода предельных дифференциальных уравнений в сочетании с прямым методом Ляпунова с несколькими функциями Ляпунова. Это дает возможность более точно проводить локализацию и определять структуру \( ω \)-предельных множеств решений. Основными проблемами исследований являются отсутствие свойств типа инвариантности \( ω \)-предельных множеств неавтономных систем и построение предельных дифференциальных соотношений. Они решаются с использованием предельных дифференциальных включений, построенных с использованием сдвигов (трансляций) исходных дифференциальных включений. Результаты имеют форму обобщений принципа инвариантности Ла-Салля и дают предварительную информацию о предельном поведении решений. Набор дополнительных функций Ляпунова позволяет уточнять это поведение и выделять те точки из множества нулей производной основной функции Ляпунова, которые заведомо \( ω \)-предельным множествам не принадлежат. Результаты иллюстрируются на примере линейного осциллятора с сухим трением.

or non-autonomous differential inclusions, the issues of attraction and asymptotic behavior of solutions are considered. The basis of the research is the development of the method of limit differential equations in combination with the direct Lyapunov method with several Lyapunov functions. This makes it possible to more accurately localize and determine the structure of \( ω \)-limit sets of solutions. The main problems of the research are the absence of properties of the invariance type of \( ω \)-limit sets of non-autonomous systems and the construction of limit differential relations. They are solved using limit differential inclusions constructed using shifts (translations) of the main differential inclusions. The results have the form of generalizations of the LaSalle invariance principle and provide preliminary information on the limit behavior of solutions. A set of additional Lyapunov functions allows one to refine this behavior and to single out those points from the set of zeros of the derivative of the main Lyapunov function that obviously do not belong to the \( ω \)-limit sets. The results are illustrated by the example of a linear oscillator with dry friction.

предельное дифференциальное включениефункция Ляпуновапринцип инвариантностиасимптотическое поведение решенийпритяжениеlimit differential inclusionLyapunov functioninvariance principleasymptotic behavior of solutionsattractionРабота выполнена в рамках госзадания Минобрнауки России (прект № 1210401300060-4).The work was carried out within the framework of the state assignment of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project no. 1210401300060-4).ReferencesЕ.А. Барбашин, Функции Ляпунова, Наука, М., 1970.Е.А. Барбашин, Функции Ляпунова, Наука, М., 1970.J.P. LaSalle, “Stability theory for ordinary differential equations”, Journal of Differential Equations, 4:1 (1968), 57–65.J.P. LaSalle, “Stability theory for ordinary differential equations”, Journal of Differential Equations, 4:1 (1968), 57–65.G.R. Sell, “Nonautonomous differential equations and topological dynamics. I. The basic theory”, Trans. Amer. Math. Soc., 127 (1967), 241–262.G.R. Sell, “Nonautonomous differential equations and topological dynamics. I. The basic theory”, Trans. Amer. Math. Soc., 127 (1967), 241–262.G.R. Sell, “Nonautonomous differential equations and topological dynamics. II. Limiting equation”, Trans. Amer. Math. Soc., 127 (1967), 263–283.G.R. Sell, “Nonautonomous differential equations and topological dynamics. II. Limiting equation”, Trans. Amer. Math. Soc., 127 (1967), 263–283.Z. Artstein, “Topological dynamics of an ordinary differential equation”, Journal of Differential Equations, 23:2 (1977), 216–223.Z. Artstein, “Topological dynamics of an ordinary differential equation”, Journal of Differential Equations, 23:2 (1977), 216–223.И.А. Финогенко, “Предельные дифференциальные включения и принцип инвариантности неавтономных систем”, Сибирский математический журнал, 55:2 (2014), 454–471.И.А. Финогенко, “Предельные дифференциальные включения и принцип инвариантности неавтономных систем”, Сибирский математический журнал, 55:2 (2014), 454–471.И.А. Финогенко, “Принцип инвариантности для неавтономных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями”, Сибирский математический журнал, 57:4 (2016), 913–927.И.А. Финогенко, “Принцип инвариантности для неавтономных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями”, Сибирский математический журнал, 57:4 (2016), 913–927.И.А. Финогенко, “Проблемы и методы исследования функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью”, Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления, 522:2 (2025) (в печати).И.А. Финогенко, “Проблемы и методы исследования функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью”, Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления, 522:2 (2025) (в печати).В.М. Матросов, Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств систем, Физматлит, M., 2001.В.М. Матросов, Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств систем, Физматлит, M., 2001.Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, КомКнига, М., 2005.Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, КомКнига, М., 2005.А.Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Наука, M., 1985.А.Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Наука, M., 1985.T. Yoshizawa, “Liapunov’s function and boundedness of solutions”, Funkcialaj Ekvacioj, 2 (1959), 95–142.T. Yoshizawa, “Liapunov’s function and boundedness of solutions”, Funkcialaj Ekvacioj, 2 (1959), 95–142.К.С. Лапин, Ограниченность по Пуассону решений систем дифференциальных уравнений, Мордовский государственный педагогический университет имени М.Е. Евсевьева, Саранск, 2022, 165 с.К.С. Лапин, Ограниченность по Пуассону решений систем дифференциальных уравнений, Мордовский государственный педагогический университет имени М.Е. Евсевьева, Саранск, 2022, 165 с.В.М. Матросов, И.А. Финогенко, “О принципе инвариантности и притягивающих множествах для автономных систем”, Доклады РАН, 349:1 (1996), 46–48.В.М. Матросов, И.А. Финогенко, “О принципе инвариантности и притягивающих множествах для автономных систем”, Доклады РАН, 349:1 (1996), 46–48.И.А. Финогенко, “Об асимптотическом поведении механических систем с трением”, Сибирский математический журнал, 63:5 (2022), 1158–1169.И.А. Финогенко, “Об асимптотическом поведении механических систем с трением”, Сибирский математический журнал, 63:5 (2022), 1158–1169.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.